Περίεργο Πάντρεμα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Περίεργο Πάντρεμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Κυρ Νοέμ 28, 2010 4:43 am

Καλημέρα...

Θα ήθελα την γνώμη, τις "πιθανές" διορθώσεις και την λύση σας φυσικά σε ένα, ας το χαρακτηρίσω, "περίεργο πάντρεμα" που έκανα....

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f(x)>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w,z_{1},z_{2}. Αν ισχύει ότι \left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha  \right)}{2},
\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta   \right)}{2}, και \left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right) όπου \alpha ,\beta \varepsilonΔ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του \left|z-w \right|
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Τρί Νοέμ 30, 2010 2:34 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2444
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από polysot » Κυρ Νοέμ 28, 2010 9:21 am

Xρίστο καλημέρα και από μένα !
Ερωτήσεις :
1. Χρειάζεσαι παραγωγισιμότητα; Πόσες φορές 1 ή 2;
2. Χρησιμοποιείς τα f(\frac{a}{2}), f(\frac{b}{2}) , αλλά δεν απαιτείται η χρήση του f(\frac{a+b}{2}) ;
3. Στην εκφώνηση εννοείς f(x) \geq 0, \forall x \in \Delta ;


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Κυρ Νοέμ 28, 2010 10:42 am

pana1333 έγραψε:Καλημέρα...

Θα ήθελα την γνώμη, τις "πιθανές" διορθώσεις και την λύση σας φυσικά σε ένα, ας το χαρακτηρίσω, "περίεργο πάντρεμα" που έκανα....

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w,z_{1},z_{2}. Αν ισχύει ότι \left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha  \right)}{2},
\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta  \right)}{2}, και \left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right) όπου \alpha ,\beta \varepsilonΔ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του \left|z-w \right|



Διορθώνω μου ξέφυγε.....(Χρήστο (chris gatos) Ευχαριστώ)

Επίσης Σωτήρη f δύο φορές παραγωγίσιμη και f\left(x \right)>0 για κάθε x\varepsilonΔ
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Τρί Νοέμ 30, 2010 2:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από pana1333 » Κυρ Νοέμ 28, 2010 6:48 pm

Καλησπέρα...Αν και "κακώς" απαναλαμβάνομαι επαναφέρω την σωστή εκφώνηση γιατι νομίζω τα έμπλεξα λίγο με τις αλλαγές.....

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f(x)>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w,z_{1},z_{2}. Αν ισχύει ότι \left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha  \right)}{2},
\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta   \right)}{2}, και \left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right) όπου \alpha ,\beta \varepsilonΔ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του \left|z-w \right|


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από pana1333 » Τρί Νοέμ 30, 2010 3:04 am

pana1333 έγραψε:
Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f(x)>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w,z_{1},z_{2}. Αν ισχύει ότι \left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha  \right)}{2},
\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta   \right)}{2}, και \left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right) όπου \alpha ,\beta \varepsilonΔ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του \left|z-w \right|


Αν και η αλήθεια είναι ότι την "κατέστρεψα την εκφώνηση" (τυπογραφικά) και ίσως το κούρασα λίγο το θέμα, για να το κλείσω κιόλας στέλνω και την λύση περιγραφικά....

Είναι \left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha  \right)}{2} η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο την εικόνα του z_{1} και ακτίνα \frac{f\left(\alpha  \right)}{2}. Ομοίως \left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta  \right)}{2} η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο την εικόνα του z_{2} και ακτίνα \frac{f\left(\beta  \right)}{2}. Επίσης f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)=\left|z_{1}-z_{2} \right| το μήκος της διακέντρου.
Με Θ.Μ.Τ αποδεικνύουμε ότι f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)\geq \frac{f\left(\alpha  \right)}{2}+\frac{f\left(\beta  \right)}{2} (Ανισότητα Jensen) επομένως \left|z_{1}-z_{2} \right|\geq \left|z-z_{1} \right|+\left|w-z_{2} \right| άρα οι δύο κύκλοι δεν τέμνονται (ο ένας εξωτερικός του άλλου) ή εφάπτονται εξωτερικά.... μετά διακρίνουμε δύο περιπτώσεις και βρίσκουμε εύκολα τα min και max του \left|z-w \right|


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες