Περίεργο Πάντρεμα

pana1333 · #1

Καλημέρα...

Θα ήθελα την γνώμη, τις "πιθανές" διορθώσεις και την λύση σας φυσικά σε ένα, ας το χαρακτηρίσω, "περίεργο πάντρεμα" που έκανα....

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f(x)>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w, $z_{1},z_{2}$ . Αν ισχύει ότι $\left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha \right)}{2}$ ,
$\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ , και $\left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)$ όπου $\alpha ,\beta \varepsilon$ Δ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\left|z-w \right|$

Ιστοσελίδα · #2

Xρίστο καλημέρα και από μένα !
Ερωτήσεις :
1. Χρειάζεσαι παραγωγισιμότητα; Πόσες φορές 1 ή 2;
2. Χρησιμοποιείς τα $f(\frac{a}{2}), f(\frac{b}{2})$ , αλλά δεν απαιτείται η χρήση του $f(\frac{a+b}{2})$ ;
3. Στην εκφώνηση εννοείς $f(x) \geq 0, \forall x \in \Delta$ ;

pana1333 · #3

pana1333 έγραψε:Καλημέρα...

Θα ήθελα την γνώμη, τις "πιθανές" διορθώσεις και την λύση σας φυσικά σε ένα, ας το χαρακτηρίσω, "περίεργο πάντρεμα" που έκανα....

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w, $z_{1},z_{2}$ . Αν ισχύει ότι $\left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha \right)}{2}$ ,
$\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ , και $\left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)$ όπου $\alpha ,\beta \varepsilon$ Δ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\left|z-w \right|$

Διορθώνω μου ξέφυγε.....(Χρήστο (chris gatos) Ευχαριστώ)

Επίσης Σωτήρη f δύο φορές παραγωγίσιμη και $f\left(x \right)>0$ για κάθε $x\varepsilon$ Δ

pana1333 · #4

Καλησπέρα...Αν και "κακώς" απαναλαμβάνομαι επαναφέρω την σωστή εκφώνηση γιατι νομίζω τα έμπλεξα λίγο με τις αλλαγές.....

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f(x)>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w, $z_{1},z_{2}$ . Αν ισχύει ότι $\left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha \right)}{2}$ ,
$\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ , και $\left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)$ όπου $\alpha ,\beta \varepsilon$ Δ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\left|z-w \right|$

pana1333 · #5

pana1333 έγραψε:
Δίνεται η κοίλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και f(x)>0 για κάθε x στο Δ. Έστω οι μιγαδικοί z,w, $z_{1},z_{2}$ . Αν ισχύει ότι $\left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha \right)}{2}$ ,
$\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ , και $\left|z_{1}-z_{2} \right|=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)$ όπου $\alpha ,\beta \varepsilon$ Δ με α<β να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\left|z-w \right|$

Αν και η αλήθεια είναι ότι την "κατέστρεψα την εκφώνηση" (τυπογραφικά) και ίσως το κούρασα λίγο το θέμα, για να το κλείσω κιόλας στέλνω και την λύση περιγραφικά....

Είναι $\left|z-z_{1} \right|=\frac{f\left(\alpha \right)}{2}$ η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο την εικόνα του $z_{1}$ και ακτίνα $\frac{f\left(\alpha \right)}{2}$ . Ομοίως $\left|w-z_{2} \right|=\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο την εικόνα του $z_{2}$ και ακτίνα $\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ . Επίσης $f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)=\left|z_{1}-z_{2} \right|$ το μήκος της διακέντρου.
Με Θ.Μ.Τ αποδεικνύουμε ότι $f\left(\frac{\alpha +\beta }{2} \right)\geq \frac{f\left(\alpha \right)}{2}+\frac{f\left(\beta \right)}{2}$ (Ανισότητα Jensen) επομένως $\left|z_{1}-z_{2} \right|\geq \left|z-z_{1} \right|+\left|w-z_{2} \right|$ άρα οι δύο κύκλοι δεν τέμνονται (ο ένας εξωτερικός του άλλου) ή εφάπτονται εξωτερικά.... μετά διακρίνουμε δύο περιπτώσεις και βρίσκουμε εύκολα τα min και max του $\left|z-w \right|$

Περίεργο Πάντρεμα

Περίεργο Πάντρεμα

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Re: Περίεργο Πάντρεμα

Μέλη σε σύνδεση