μιγαδικοί, γεωμετικός τόπος, ακρότατα.

[Ανδρέας Πούλος]

Με αφορμή το θέμα, posting.php?f=51&t=11104, προτείνω μία τροποποίηση που το δυσκολεύει αρκετά.
Η δική μου προσέγγιση απαιτεί και μέγιστα-ελάχιστα με τη βοήθεια των παραγώγων.

Έστω οι μιγαδικοί z με z = (3) + (2λ+1)i , λεR
1) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z,
2) Να βρείτε τον μιγαδικό z που η εικόνα του βρίσκεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[KDORTSI]

1. Αν θέσουμε με χ, ψ το πραγματικό και το φανταστικό μέρος και μετά κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου λ τότε προκύπτει η εξίσωση:

που εκφράζει μια παραβολή με διευθετούσα την χ=-4 και εστία Ε(-2,1).
2. Το σημείο της παραβολής αυτής που απέχει ελάχιστα από την αρχή των αξόνων βρίσκεται μελετώντας την συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση αυτή. Δηλαδή:

που έχει παράγωγο την

η τελευταία είναι τρίτου βαθμού και λύνεται με τη θεωρία της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Έχει μοναδική πραγματική ρίζα την

Η μελέτη της συνάρτησης δίνει για την τιμή αυτή ελάχιστο περίπου την τιμή 2.07 για την απόσταση και που αντιστοιχεί στο σημείο Σ.
Η όλη διαδικασία φαίνεται στο σχήμα-στιγμιότυπο που φαίνεται κατωτέρω και η όλη "διαδικασία" στο συνημμένο δυναμικό σχήμα.
(Σημείωση: Η τριτοβάθμια λύθηκε με τη βοήθεια λογισμικού κι όχι με το "χέρι")

[Ανδρέας Πούλος]

Έχει δίκιο ο Κώστας όπως έμμεσα και ευγενικά το τόνισε.
Δεν είναι εύκολο χωρίς τον τύπο επίλυσης τριτοβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων να βρούμε τη ζητούμενη λύση.
Το ερώτημα 2) έπρεπε να τροποποιηθεί ως εξής:

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μοναδικός μιγαδικός z που η εικόνα του βρίσκεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων.
Εξάλλου, για τον λόγο αυτό είχα αναφέρει και τον εντοπισμό ακροτάτων με τη βοήθεια των παραγώγων.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος