11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Μέθοδος "Απαγωγή σε άτοπο" σε θέματα Ανάλυσης της Γ΄ Λυκείου, του εκλεκτού συναδέλφου Νίκου Ζανταρίδη.
download/file.php?id=10246

chris · #2

Πολύ καλό!!!

Ευχαριστούμε πολύ και τους δύο

Σταύρος Σταυρόπουλος · #3

Ευχαριστούμε πολύ και τους δύο συναδέλφους για την εργασία που μας προσφέρουν.

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Ξαναβάζω το αρχείο με κάποιες μικρές διορθώσεις (όσοι το έχουν κατεβάσει ήδη δεν χρειάζεται να το διορθώσουν)

Πρέπει να το τονίσω ότι είναι ένα πολύτιμο αρχείο για καθηγητές και μαθητές της Γ Λυκείου.

Εν καιρώ και σ' αυτό το θέμα, θα προσθέσω και άλλες ασκήσεις που προκύπτουν με απαγωγή σε άτοπο σε θέματα Ανάλυσης της Γ΄ Λυκείου, όποιος ενδιαφέρεται να εμπλουτίσει αυτή την συλλογή είμαι έτοιμος να εργαστώ για να μεγαλώσουμε αυτή την εργασία.

Ιστοσελίδα · #5

Ωραία ιδέα συνάδελφοι.
Ρίχνω κι εγώ μία γρήγορη προσθήκη και θέλετε να την περάσω σε κάποιο αρχείο :

Κάθε συνεχής και 1-1 στους πραγματικούς συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.

Ιστοσελίδα · #6

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:όποιος ενδιαφέρεται να εμπλουτίσει αυτή την συλλογή

Πολύ καλή ιδέα Μάκη.

Μια άσκηση για τη συλλογή:
Έστω συνάρτηση $f:\left( {0,1} \right) \to R$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ότι ${f^2}\left( x \right) + \left( {x - 4} \right)f\left( x \right) + x = 0$ για κάθε $x \in \left( {0,1} \right)$ . Να αποδείξετε ότι η ${C_f}$ δεν έχει σημεία καμπής.
Μίλτος.

nonlinear · #7

Ευχαριστούμε και τους δύο συναδέλφους.

mathxl · #8

Μία αντιμετώπιση με εντός ύλης σχολικά εργαλεία.
Έστω ότι η συνάρτηση μας έχει σημείο καμπής στο κ, άρα η δεύτερη παράγωγος σε αυτό θα μηδενίζει

Ισχύει
$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) + \left( {x - 4} \right)f\left( x \right) + x = 0}$ , σχέση (1)
Επίσης με παραγώγιση (εδώ ΄να δικαιολογήσουμε την παραγωγισιμότητα των μελών)
$\displaystyle{2f\left( x \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right) + \left( {x - 4} \right)f'\left( x \right) + 1 = 0}$ , σχέση (2)και πάλι με παραγώγιση με αιτιολόγηση
$\displaystyle{2{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + 2f\left( x \right)f''\left( x \right) + 2f'\left( x \right) + \left( {x - 4} \right)f''\left( x \right) = 0}$ , σχέση (3)

Για χ = κ στην (3) λαμβάνουμε $\displaystyle{f'\left( k \right) = 0 \vee f'\left( k \right) = - 1}$

-Αν $\displaystyle{f'\left( k \right) = 0}$
τότε για χ = κ στην σχέση (2) λαμβάνουμε $\displaystyle{f\left( k \right) = - 1}$
και έπειτα με αντικατάσταση στην σχέση (1) για χ = κ λαμβάνουμε κ = 4 αδύνατο διότι το κ ανήκει στο (0,1)

Αν $\displaystyle{f'\left( k \right) = - 1}$ με ατικατάσταση στην σχέση (2) λαμβάνουμε $\displaystyle{f\left( k \right) = 5 - k}$
και αν αντικαταστίσουμε στην σχέση (1) λαμβάνουμε $\displaystyle{5 = 0}$ αδύνατο

Άρα καταλήξαμε σε άτοπο οπότε ισχύει το ζητούμενο (όλα αυτά με την προυπόθεση ότι έκανα σωστά τις πράξεις)

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Χαίρομαι που άρεσε και εισακούστηκε η επιθυμία μου άμεσα!

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to Q}$ ώστε να είναι $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,f\left( 2 \right) = 2}$ τότε να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής

Η άσκηση μπορεί να γενικευτεί αλλά πολύ φοβάμαι ότι ξεφεύγει από τα σχολικά δεδομένα (με την απόδειξη που έχω κατά νου)...

mathxl · #10

Έστω ότι είναι συνεχής τότε επειδή ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσης τιμής στο [1,2] θα πρέπει να παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές του (1,2) άτοπο διότι στο συγκεκρμένο διάστημα υπάρχουν και άρρητοι.

Αλλιώς
Η εικόνα της συνεχούς στο [0,1] και μη σταθερής συνάρτησης f οφείλει να είναι διάστημα και μέσα σε αυτό θα έχουμε και άρητους μια και τα στοιχεία του Q δεν μπορούν να σχηματίσουν διάστημα (αυτό νομίζω ξεφεύγει)

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Πολύ όμορφα Βασίλη (όπως πάντα), την γράφω πιο αναλυτικά (έχω τον λόγο μου):

Αρχικά αποδεικνύουμε ότι: $\displaystyle{f\left( 1 \right) < \sqrt 2 < f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 < \sqrt 2 < 2}$

Οπότε διαλέγουμε $\displaystyle{\eta = \sqrt 2 }$ άρα για την συνάρτηση f ικανοποιείται το Θ.Ε.Τ γιατί:

* f συνεχής στο [1, 2]

* $\displaystyle{f\left( 1 \right) \ne f\left( 2 \right)}$

οπότε για κάθε $\displaystyle{\eta \in \left( {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right)} \right)}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{{x_0} \in \left( {1,2} \right)}$
τέτοιο ώστε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = \eta \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt 2 }$ άτοπο αφού η f ορίζεται στο Q.

Ερώτηση 1η: Όταν την δίνω στο τμήμα την περνάω ως άσκηση που αποδεικνύεται μόνο με το Θ.Ε.Τ, έχω δίκιο;;

Ερώτηση 2η: Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to Q}$ και $\displaystyle{f\left( 1 \right) = a}$ , $\displaystyle{f\left( 2 \right) = b}$ με a, b ρητούς αριθμούς τέτοιους ώστε a < b τότε να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής.

Η παραπάνω άσκηση είναι γενίκευση της προηγούμενης, αυτή λύνεται; Με σχολικά δεδομένα;

11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Re: 11 θέματα με λύσεις - Μέθοδος 'Απαγωγή σε άτοπο"

Μέλη σε σύνδεση