Εύρεση συνάρτησης από ανισότητα

#1

Να βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ ,οι οποίες έχουν συνεχή παράγωγο, f(0)=0

και για τις οποίες υπάρχει $\lambda>0$ ώστε $e^xf^{\prime}(x) \le \lambda \le f^{\prime}(x)+f(x), \forall x \ge 0$

mathxl · #2

Μία αντιμετώπιση
Για χ = 0 : $\displaystyle{\begin{array}{l} f'\left( 0 \right) \le \lambda \le f'\left( 0 \right) + 0 \Leftrightarrow \lambda = f'\left( 0 \right) \\ \\ \end{array}}$

Για μη αρνητικά x, έχουμε
$\displaystyle{\left. {{e^t}f'\left( t \right) \le f'\left( 0 \right) \le f'\left( t \right) + f\left( t \right)} \right\} \Rightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( t \right) \le f'\left( 0 \right){e^{ - t}}} \\ {{e^t}f'\left( 0 \right) \le {e^t}f'\left( t \right) + {e^t}f\left( t \right)} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_0^x {f'\left( t \right)dt} \le f'\left( 0 \right)\int\limits_0^x {{e^{ - t}}dt} } \\ {f'\left( 0 \right)\int\limits_0^x {{e^t}dt} \le \int\limits_0^x {{{\left[ {f\left( t \right){e^t}} \right]}^\prime }dt} } \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) \le f'\left( 0 \right)\left( {1 - {e^{ - x}}} \right)} \\ {f'\left( 0 \right)\left( {{e^x} - 1} \right) \le {e^x}f\left( x \right)} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow f\left( x \right) = f'\left( 0 \right)\left( {1 - {e^{ - x}}} \right),x \ge 0}$

Η οποία ικανοποιεί τις προυποθέσεις μας, άρα είναι δεκτή

#3

${\color{red}\bullet}\quad e^x f^{\prime}(x)\leq \lambda \rightarrow f^{\prime}(x)-\lambda e^{-x}\leq 0\rightarrow (f(x)+\lambda e^{-x})^{\prime}\leq 0$

${\color{blue}\bullet}\quad x\geq 0\rightarrow f(x)+\lambda e^{-x}\leq f(0)+\lambda\rightarrow f(x)\leq \lambda(1-e^{-x})$

${\color{red}\bullet}\quad f^{\prime}(x)+f(x)\geq \lambda \rightarrow (f(x)e^x-\lambda e^x)^{\prime}\geq 0$

${\color{blue}\bullet}\quad x\geq 0 \rightarrow f(x)e^x-\lambda e^x \geq f(0)-\lambda \rightarrow f(x)\geq \lambda (1-e^{-x})$

$\Rightarrow f(x)=\lambda(1-e^{-x}),x\geq 0,\,\, \lambda=f^{\prime}(0)$ ,ικανοποιεί τη δοθείσα

Εύρεση συνάρτησης από ανισότητα

Εύρεση συνάρτησης από ανισότητα

Re: Εύρεση συνάρτησης από ανισότητα

Re: Εύρεση συνάρτησης από ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση