Επαναληπτική από Γ.Μ

hsiodos · #1

Έπεσε τυχαία στα χέρια μου ένα παλαιό βιβλίο (1989) του Γιάννη Μπαϊλάκη και το ξεφυλλίζω . Παραθέτω μια άσκηση που μου έκανε εντύπωση(δεν ξέρω αν υπάρχει σε μεταγενέστερα βιβλία του)

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω οι παραγωγίσιμες στο [0 , 1]

συναρτήσεις f , g

με συνεχείς παραγώγους και τέτοιες ώστε f(x)g(x)=e^x

για κάθε $x \in [0 , 1]$ .

α) Να δείξετε ότι $f΄(x)g΄(x) \leq \frac{e^x}{4}$ για κάθε $x \in [0 , 1]$ .

β) Αν ισχύει $\int_{0}^{1}{f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)dx }=\frac{1}{4}(e-1)$ να βρεθούν οι γενικοί τύποι των

και

.

Γιώργος

dement · #2

Καλημερα.

Παραγωγιζουμε την αρχικη σχεση και διαιρουμε με το γινομενο f(x)g(x) = e^x

(που δε μηδενιζεται ποτε), οποτε εχουμε $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} + \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} = 1$ . Απο Α.Μ./Γ.Μ. εχουμε $\frac{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)}{e^x} = \frac{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)}{f(x)g(x)} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} + \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} \right) ^2 = \frac{1}{4}$ , απο οπου εχουμε το αποτελεσμα μας.

Για το δευτερο ερωτημα, παρατηρουμε οτι, λογω συνεχειας παραγωγων, χρειαζεται η προηγουμενη ανισοτητα να γινει ισοτητα για να ικανοποιηθει. Αρα $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} \Longrightarrow \left( \frac{f}{g} \right)^{\prime} = 0$ , οποτε η f/g

ειναι σταθερη. Ετσι, ο γενικος τυπος των συναρτησεων ειναι $f(x) = c e^{x/2}, g(x) = \frac{1}{c} e^{x/2}$ , οπου

μη μηδενικη σταθερα.

Δημητρης Σκουτερης

Επαναληπτική από Γ.Μ

Επαναληπτική από Γ.Μ

Re: Επαναληπτική από Γ.Μ

Μέλη σε σύνδεση