Με ποια άσκηση του σχολικού βιβλίου μοιάζει το θέμα αυτό ή αυτή η ερώτηση ;Το έλυνε ο μαθητής αν είχε λύσει αυτή(...) την άσκηση ;
Δεν σας κρύβω ότι και γω στις εξετάσεις δε φοβάμαι τίποτα πιο πολύ από το να τεθεί μια μικρή παραλλαγή ή επέκταση μας σχολικής άσκησης και να μου πουν : Να κύριε, αυτή δεν την είχαμε ξαναλύσει ή δεν την προσέξαμε !
Επειδή λοιπόν είναι από κάθε σκοπιά παράλογο οι μαθητές μας να έχουν λύσει χίλιες εξωσχολικές ασκήσεις και να χάσουν μια σχολική, άρχισα από χθες να παίρνω μία - μία τις πιο χαρακτηριστικές ασκήσεις του σχολικού και να τις κάνω θέματα ή να κρύβω τις ιδέες των ασκήσεων μέσα σε απλές κατά τα άλλα ασκήσεις - θέματα.
Θεωρώ πως θα ήταν μια εξαιρετική βοήθεια προς τους μαθητές (και τους εαυτούς μας ίσως) να συλλέξουμε όσα περισσότερα μπορούμε από αυτά τα θέματα(ή και ασκήσεις του ενός ερωτήματος).
Θα έχει νομίζω ενδιαφέρον για δύο τουλάχιστον ακόμα χρόνια !
Αρχίζω με δυο θέματα από τα ολοκληρώματα(η ιδέα είναι από τις πρώτες γενικές ασκήσεις του σχολικού) και συνεχίστε εσείς με ό,τι κρίνετε ωραίο και σημαντικό :
ΑΣΚΗΣΗ 1(γεν.2/σελ 352)
Δίνεται η συνάρτηση
με τύπο : 
, 
.α) Να μελετήσετε την
ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της
.γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης
.δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
τον άξονα 
και τις ευθείες με εξισώσεις 
.Μπάμπης
και 
.
είναι παραγωγίσιμες.
συμφωνώ απόλυτα, ότι μία πηγή εμπνευσης και ιδεών για δημιουργία θεμάτων είναι οι ασκήσεις του σχολικού και βλέποντας την
και 
παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε να ισχύουν 
και 
με 
είναι η 
και ότι είναι κοίλη,στο 
και η 
για την οποία ισχύει 
με 
να βρείτε την εφαπτομένη 
της γραφικής παράστασης της 
να δείξετε ότι 
, 
.
Λύνουμε την εξίσωση:
![\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2} \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/07714a269709fa34d899332d5c554fdf.png "\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2} \right]")
και γνησίως αύξουσα στο 
είναι επίσης παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της οπότε:
οπότε θα εξετάσουμε τι συμβαίνει στα άκρα του διαστήματος.
και 
είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της ![\displaystyle f(\left(0,\pi \right))=f\left(\left(0,\frac{\pi}{2} \right] \right)\cup f\left(\left(\frac{\pi}{2},\pi \right) \right)=\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right),\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) \right) \cup \left(f\left(\frac{\pi}{2} \right),\lim_{x \rightarrow \pi^-}f(x) \right)=\left[1,+\infty \right)\cup \left(1,+\infty \right)=\left[1,+\infty \right)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d4a31dd763d24271e808b2389d841deb.png "\displaystyle f(\left(0,\pi \right))=f\left(\left(0,\frac{\pi}{2} \right] \right)\cup f\left(\left(\frac{\pi}{2},\pi \right) \right)=\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right),\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) \right) \cup \left(f\left(\frac{\pi}{2} \right),\lim_{x \rightarrow \pi^-}f(x) \right)=\left[1,+\infty \right)\cup \left(1,+\infty \right)=\left[1,+\infty \right)")
![\displaystyle E=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\left|\frac{1}{\eta \mu x} \right|dx}\stackrel{\eta \mu x>0}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\eta \mu x} dx}= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\eta \mu ^2\frac{x}{2}+\sigma \upsilon \nu ^2\frac{x}{2}}{2\eta \mu \frac{x}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}dx}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\eta \mu \frac{x}{2}}{2\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}dx}+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}{2 \eta \mu \frac{x}{2}}dx} =\left[ln\left(2\eta \mu \frac{x}{2}\right) -ln\left(2\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2} \right)\right]^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}} =\frac{ln3}{2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/829f26263349901cf2e061fb96774238.png "\displaystyle E=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\left|\frac{1}{\eta \mu x} \right|dx}\stackrel{\eta \mu x>0}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\eta \mu x} dx}= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\eta \mu ^2\frac{x}{2}+\sigma \upsilon \nu ^2\frac{x}{2}}{2\eta \mu \frac{x}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}dx}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\eta \mu \frac{x}{2}}{2\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}dx}+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}{2 \eta \mu \frac{x}{2}}dx} =\left[ln\left(2\eta \mu \frac{x}{2}\right) -ln\left(2\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2} \right)\right]^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}} =\frac{ln3}{2}")
και 
έχει πεδίο ορισμού το ![\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dec6be34f781df75cfc4c4ccd5a2f6ef.png "\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]")
αφού πρέπει και αρκεί 
απο όπου προκύπτει ![\displaystyle D_f=\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/81a90cc69ec7e9c125e29ad3ea7f5eba.png "\displaystyle D_f=\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]")
![\displaystyle D_g=D_f=\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a57258638aed5203ab2276ab84848978.png "\displaystyle D_g=D_f=\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]")
είναι συνεχής στο 
ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων επομένως στο ίδιο διάστημα η συνάρτηση 
είναι παραγωγίσιμη.
είναι παραγωγίσιμη στο 
ισχύει: 
απο ολοκλήρωση της 
στο ![[x,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e6689e594cced63960b4f18d29966070.png "[x,1]")
έχουμε:
με το ίσον να ισχύει σε ένα μεμονωμένο σημείο άρα ![[-1,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png "[-1,1]")
και ισχύει:
με το ίσον να ισχύει στα άκρα του διαστήματος άρα 
λαμβάνουμε την προφανή λύση ![\displaystyle E=\int_{0}^{1}{\left|f(x) \right|dx}\stackrel{f(x)\leq 0,x \in[0,1] }=-\int_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int_{0}^{1}{(x)'f(x)dx}=-\left[xf(x) \right]_0^1+\int_{0}^{1}{xf'(x)dx}=-f(1)-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\left(1-x^2 \right)'\sqrt{1-x^2}dx}\stackrel{1-x^2=u,(1-x^2)'dx=du}=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}{\sqrt{u}du}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_0^1=\frac{1}{3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3284f17f804b1aa8354fe964f4e401a9.png "\displaystyle E=\int_{0}^{1}{\left|f(x) \right|dx}\stackrel{f(x)\leq 0,x \in[0,1] }=-\int_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int_{0}^{1}{(x)'f(x)dx}=-\left[xf(x) \right]_0^1+\int_{0}^{1}{xf'(x)dx}=-f(1)-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\left(1-x^2 \right)'\sqrt{1-x^2}dx}\stackrel{1-x^2=u,(1-x^2)'dx=du}=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}{\sqrt{u}du}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_0^1=\frac{1}{3}")
, με 
.
να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 
με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών αριθμών που ικανοποιεί τη σχέση: 
με 
.
, όπου 
, να αποδείξετε ότι :
, 
ένα σημείο της 
.
που περικλείεται από τη 
τη στιγμή που η τετμημένη του 
είναι 
.
για τους οποίους ισχύει ότι : 
δύο από τους μιγαδικούς που επαληθεύουν τη δoσμένη σχέση με 
= 4.
και 
για κάθε 
με 
, να βρεθεί o τύπος της συνάρτησης αυτής.
που είναι συνεχής στο 
και έχει την ιδιότητα :
για κάθε 
, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης 
είναι παραγωγίσιμη.Υποθέτουμε ότι υπάρχει αρχική 
της 
.
,
, αν ισχύει ότι :
και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μετρο 
.
και 
με 
έχουν ίσα μέτρα, τότε :
, να αποδειχθεί ότι :
είναι ομοκυκλικά σημεία.
