Επαναληπτική

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Παρ Απρ 29, 2011 3:37 am

Ακόμα μία επαναληπτική έμπνευση .....

Δίνεται η συνάρτηση f:[0,3]\rightarrow R με τύπο f\left(x \right)=e^{x^{2}+x}.

α) Να μελετηθεί συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η αντίστροφη της.

γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \int_{1}^{e^{2}}{\frac{-1+\sqrt{1+4lnx}}{2}dx}+\int_{0}^{1}{e^{x^{2}+x}dx}.

δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \int_{1}^{e^{2}}{\frac{-f^{-1}\left(e^{2} \right)+\sqrt{ln\left(ex^{4}\right)}}{lnf\left(1 \right)}dx}-\int_{0}^{1}\left( {2{x^{2}+x}\right)e^{x^{2}+x}}dx
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Σάβ Απρ 21, 2012 3:19 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από pana1333 » Σάβ Απρ 30, 2011 4:39 pm

Μετά απο τη σημαντική παρέμβαση του Χρήστου (Λαζαρίδης), την ξαναστέλνω διορθωμένη για το δ).


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Απρ 30, 2011 9:23 pm

...Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα...ας δούμε μία προσεγγιση στην άσκηση του Χρήστου..

α) Είναι f(x)={{e}^{{{x}^{2}}+x}},\,\,\,x\in [0,\,\,3] παραγωγίσιμη με {f}'(x)={{e}^{{{x}^{2}}+x}}(2x+1)>0,\,\,\,x\in (0,\,\,3) άρα γνήσια αύξουσα στο [0,\,\,3] επομένως στο {{x}_{1}}=0

έχει ολικό ελάχιστο το f(0)=1 και στο {{x}_{2}}=3 ολικό μέγιστο το f(3)={{e}^{12}}

β) Επειδή είναι γνήσια αύξουσα στο \Delta =[0,\,\,3] θα είναι και ΄΄1-1΄΄ άρα αντιστρέφεται και αφού το σύνολο τιμών της f που είναι συνεχής είναι

f(\Delta )=[f(0),\,\,f(3)]=[1,\,\,{{e}^{12}}], θα είναι {{f}^{-1}}\,:\,\,[1,\,\,{{e}^{12}}]\to [0,\,\,3] και με f(x)=y\in [1,\,\,{{e}^{12}}] έχουμε από την εξίσωση y={{e}^{{{x}^{2}}+x}},\,\,\,x\in [0,\,\,3]


ισοδύναμα \ln y={{x}^{2}}+x,\,\,\,x\in [0,\,\,3] ή {{(x+\frac{1}{2})}^{2}}=\ln y+\frac{1}{4} και αφού 1\le y\le {{e}^{12}}\Leftrightarrow 0\le \ln y\le 12 έχουμε ισοδύναμα \left| x+\frac{1}{2} \right|=\frac{\sqrt{1+4\ln y}}{2} απ όπου

x+\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+4\ln y}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1+4\ln y}}{2} και επειδή x\in [0,\,\,3] δεκτή η x=\frac{-1+\sqrt{1+4\ln y}}{2}={{f}^{-1}}(y) άρα

{{f}^{-1}}(y)=\frac{-1+\sqrt{1+4\ln y}}{2},\,\,\,\,y\in [1,\,\,{{e}^{12}}]

γ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}} που με u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x οπότε {f}'(u)du=dx και x=1\to u=0,\,\,x={{e}^{2}}\to u=1 αφού f(0)=1 και f(1)={{e}^{2}} γίνεται I=\int\limits_{0}^{1}{u{f}'(u)du+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}=[uf(u)]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} άρα

I=[uf(u)]_{0}^{1}=f(1)={{e}^{2}}

δ) Τώρα επειδή f(1)={{e}^{2}}\Leftrightarrow 1={{f}^{-1}}({{e}^{2}}) και \ln f(1)=\ln {{e}^{2}}=2 το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται J=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx-\int\limits_{0}^{1}{(2{{x}^{2}}+x){{e}^{{{x}^{2}}+x}}dx}} Τώρα από (γ) έχουμε \int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}={{e}^{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+\int\limits_{0}^{1}{(x{)}'{{e}^{{{x}^{2}}+x}}dx}}={{e}^{2}} οπότε \int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+[x{{e}^{{{x}^{2}}+x}}]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{{{x}^{2}}+x}}(2x+1)dx}}={{e}^{2}} άρα J+[x{{e}^{{{x}^{2}}+x}}]_{0}^{1}={{e}^{2}}\Leftrightarrow J=0


…γεωμετρικά όπως φαίνεται και στο σχήμα το ολοκλήρωμα I είναι το εμβαδό του ορθογωνίου OB\Gamma E λόγω συμμετρίας των f,\,{{f}^{-1}} (στο σχήμα είναι η g) ως προς την y=x….
ΑΚΟΜΗ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ.png
ΑΚΟΜΗ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ.png (18.09 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες