Επαναληπτική

pana1333 · #1

Ακόμα μία επαναληπτική έμπνευση .....

Δίνεται η συνάρτηση f:[0,3] $\rightarrow R$ με τύπο $f\left(x \right)=e^{x^{2}+x}$ .

α) Να μελετηθεί συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η αντίστροφη της.

γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_{1}^{e^{2}}{\frac{-1+\sqrt{1+4lnx}}{2}dx}+\int_{0}^{1}{e^{x^{2}+x}dx}$ .

δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_{1}^{e^{2}}{\frac{-f^{-1}\left(e^{2} \right)+\sqrt{ln\left(ex^{4}\right)}}{lnf\left(1 \right)}dx}-\int_{0}^{1}\left( {2{x^{2}+x}\right)e^{x^{2}+x}}dx$

pana1333 · #2

Μετά απο τη σημαντική παρέμβαση του Χρήστου (Λαζαρίδης), την ξαναστέλνω διορθωμένη για το δ).

#3

...Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα...ας δούμε μία προσεγγιση στην άσκηση του Χρήστου..

α) Είναι $f(x)={{e}^{{{x}^{2}}+x}},\,\,\,x\in [0,\,\,3]$ παραγωγίσιμη με ${f}'(x)={{e}^{{{x}^{2}}+x}}(2x+1)>0,\,\,\,x\in (0,\,\,3)$ άρα γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,3]$ επομένως στο ${{x}_{1}}=0$

έχει ολικό ελάχιστο το f(0)=1

και στο ${{x}_{2}}=3$ ολικό μέγιστο το $f(3)={{e}^{12}}$

β) Επειδή είναι γνήσια αύξουσα στο $\Delta =[0,\,\,3]$ θα είναι και ΄΄1-1΄΄ άρα αντιστρέφεται και αφού το σύνολο τιμών της

που είναι συνεχής είναι

$f(\Delta )=[f(0),\,\,f(3)]=[1,\,\,{{e}^{12}}]$ , θα είναι ${{f}^{-1}}\,:\,\,[1,\,\,{{e}^{12}}]\to [0,\,\,3]$ και με $f(x)=y\in [1,\,\,{{e}^{12}}]$ έχουμε από την εξίσωση $y={{e}^{{{x}^{2}}+x}},\,\,\,x\in [0,\,\,3]$

ισοδύναμα $\ln y={{x}^{2}}+x,\,\,\,x\in [0,\,\,3]$ ή ${{(x+\frac{1}{2})}^{2}}=\ln y+\frac{1}{4}$ και αφού $1\le y\le {{e}^{12}}\Leftrightarrow 0\le \ln y\le 12$ έχουμε ισοδύναμα $\left| x+\frac{1}{2} \right|=\frac{\sqrt{1+4\ln y}}{2}$ απ όπου

$x+\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+4\ln y}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1+4\ln y}}{2}$ και επειδή $x\in [0,\,\,3]$ δεκτή η $x=\frac{-1+\sqrt{1+4\ln y}}{2}={{f}^{-1}}(y)$ άρα

${{f}^{-1}}(y)=\frac{-1+\sqrt{1+4\ln y}}{2},\,\,\,\,y\in [1,\,\,{{e}^{12}}]$

γ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}$ που με $u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x$ οπότε {f}'(u)du=dx

και $x=1\to u=0,\,\,x={{e}^{2}}\to u=1$ αφού f(0)=1

και $f(1)={{e}^{2}}$ γίνεται $I=\int\limits_{0}^{1}{u{f}'(u)du+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}=[uf(u)]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$ άρα

$I=[uf(u)]_{0}^{1}=f(1)={{e}^{2}}$

δ) Τώρα επειδή $f(1)={{e}^{2}}\Leftrightarrow 1={{f}^{-1}}({{e}^{2}})$ και $\ln f(1)=\ln {{e}^{2}}=2$ το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται $J=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx-\int\limits_{0}^{1}{(2{{x}^{2}}+x){{e}^{{{x}^{2}}+x}}dx}}$ Τώρα από (γ) έχουμε $\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}={{e}^{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+\int\limits_{0}^{1}{(x{)}'{{e}^{{{x}^{2}}+x}}dx}}={{e}^{2}}$ οπότε $\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{{{f}^{-1}}(x)dx+[x{{e}^{{{x}^{2}}+x}}]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{{{x}^{2}}+x}}(2x+1)dx}}={{e}^{2}}$ άρα $J+[x{{e}^{{{x}^{2}}+x}}]_{0}^{1}={{e}^{2}}\Leftrightarrow J=0$

…γεωμετρικά όπως φαίνεται και στο σχήμα το ολοκλήρωμα

είναι το εμβαδό του ορθογωνίου $OB\Gamma E$ λόγω συμμετρίας των $f,\,{{f}^{-1}}$ (στο σχήμα είναι η g) ως προς την y=x

….

: ΑΚΟΜΗ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ.png (18.09 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Μέλη σε σύνδεση