ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

#1

...Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα μετά από αρκετό καιρό....
ευχόμενος δύναμη και κουράγιο σε όλους τους διδάσκοντες και διδασκομένους
λιγο πριν την έναρξη της νέας σχολικής χρονιάς...
και για δυναμικό ξεκίνημα επισυνάπτω ένα διαγώνισμα που έφτιαξα (στην ύλη που αναφέρω) γιά τα παιδιά παίρνοντας και ιδέες από την παρέα μας εδώ....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ.doc: (82 KiB) Μεταφορτώθηκε 1037 φορές

minast1994 · #2

ενδεικτική απάντηση για το θέμα β...
ερώτημα α'
$\left ( 1+i\sqrt{3} \right )z_1 -1+i\sqrt{3}=0\Leftrightarrow z_1=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}$
απο τούς τύπους vieta o z_1

είναι ρίζα τής εξίσωσης μόνο και μόνο αν
$z_1+\bar{z_1}=-\frac{b}{a}=-1$ και
$z_1\bar{z_1}=\frac{c}{a}=1$
είναι
$z_1+\bar{z_1}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}+\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}= \frac{(1-i\sqrt{3})^{2}+(1+i\sqrt{3})^{2}}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}= \frac{1-2i\sqrt{3}-3+1+2i\sqrt{3}-3}{1+3}=-1$
επίσης
$z_1\bar{z_1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}=1$

άρα z_1

ρίζα τής

minast1994 · #3

ερώτημα β'
είναι
$z_1^2=(\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}})^2=\frac{1-2i\sqrt{3}-3}{1+2i\sqrt{3}-3}=\frac{-2-2i\sqrt{3}}{-2+2i\sqrt{3}}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\bar{z_1}$
οπότε
$z_1^3=z_1^2z_1=z_1\bar{z_1}=\frac{c}{a}=1$

ερώτημα γ'
$(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}})^{2012} + (\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}})^{2014}+1=\bar{z_1}^{2012}+\bar{z_1}^{2014}+1= \overline{z_1^{2012}+z_1^{2014}+1}=\overline{z_1^{2010}z_1^{2}+z_1^{2013}z_1+1}= \overline{z_1^{3^{(670)}}z_1^{2}+z_1^{3}^{(671)}z_1+1}=\overline{z_1^{2}+z_1+1}= 0$

minast1994 · #4

επίσης για το θέμα Δ
α)
g(x)=xe^x ,x > 0

έστω

με

$x_1< x_2 \Rightarrow e^{x_1}<e^{x_2}$
0<x_1< x_2

πολλαπλασιάζοντα κατα μέλη έχουμε
$x_1e^{x_1}< x_2e^{x_2}\Rightarrow g(x_1)< g(x_2)$

άρα $g(x)\nearrow (0,+\infty)\Rightarrow g 1-1$ ,άρα η g αντιστρέφεται

β)επειδή για x>0

είναι

τότε

και επειδή φυσικά $e^{f(x)}> 0$ τότε θα είναι και f(x)> 0

άρα $f(x)e^{f(x)}=g(f(x))$
άρα g(f(x))=xlnx ,x> 1

θεωρώ την συνάρτηση h(x)=xlnx ,x>1

για

είναι

και

πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα είναι
h(x_1)< h(x_2)

άρα h(x) γνησίως αύξουσα στο $(1,+{\infty})$
επίσης για $x_1< x_2 \in (0,+{\infty})$
$h(x_1)< h(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))< g(f(x_2))$
και επείδη η g γνησίως αύξουσα θα είναι f(x_1)< f(x_2)

άρα f γνησίως αύξουσα

ερώτημα γ'
g(f(x))=xlnx

για

η σχέση γίνεται
g(f(e))=e

(1)
επίσης είναι
$g(x)=xe^{x}$
για x=1

η σχέση γίνεται g(1)=e

(2)
απο (1),(2) $\Rightarrow$ g(1)=g(f(e))

και επειδή g 1-1
f(e)=1

ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

Re: ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

Re: ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

Re: ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση