ΕΞΙΣΩΣΗ

BAGGP93 · #1

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1+x+x^2+x^3+...+x^2^0^0^4=2005

είναι ισοδύναμη με την

x^2^0^0^5-2005x+2004=0

Έπειτα να λύσετε την εξίσωση (1)

στο σύνολο των θετικών αριθμών

Γιώργος Απόκης · #2

H εξίσωση επαληθεύεται για x=1

. Για $x\ne 1$ το 1ο μέλος είναι το άθροισμα των 2005

πρώτων όρων Γ.Π. με

$a_1=1,\lambda=x$ άρα η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{\frac{x^{2005}-1}{x-1}=2005\Leftrightarrow x^{2005}-2005x+2004=0}$ .

BAGGP93 · #3

ξέχασα να προσθέσω το

.συγγνώμη είναι 1+x+x^2+x^3+...+x^2^0^0^4

Γιώργος Απόκης · #4

Tώρα είδα το ii)

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=x^{2005}-2005x+2044,~x \in \mathbb R$ με $f{'}(x)=2005(x^{2004}-1)$ . Οι ρίζες της f{'}

είναι

άρα η

είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα $(-\infty,-1]$ και $[1,+\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο [-1,1]

.

Τα σύνολα τιμών είναι αντίστοιχα $(-\infty,4008],~[0,4008],~[0,+\infty)$ . Επομένως, η μόνη θετική ρίζα είναι το x=1

,

αλλά υπάρχει μοναδική (λόγω μονοτονίας) ρίζα στο $(-\infty,-1)$ . Eφαρμόζοντας Bolzano στο [-2,-1]

προκύπτει ότι υπάρχει

μοναδική αρνητική ρίζα $\rho$ στο (-2,-1)

.

Σημ. Mε διαδοχικές προσεγγίσεις, βρήκα ότι $\rho \simeq -1.00414$ , αναλυτική λύση δεν έχω...

Γιώργος Απόκης · #5

Η προηγούμενη λύση έγινε για $x\in \mathbb R$ . Με την αλλαγή ότι x>0

δεν υπάρχει η αρνητική ρίζα...

#6

Φυσικά, η εξίσωση μπορεί να λυθεί στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ και με μία απλή χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ:

Αν $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης, είναι

$\displaystyle{2005x=x^{2005}+2004=x^{2005}+1+1+\cdots +1\geq 2005\sqrt[2005]{x^{2005}\cdot 1\cdot 1\cdots 1}=2005x.}$

Άρα ισχύει παντού ισότητα και επομένως είναι $\displaystyle{x=1,}$ τιμή που προφανώς ικανοποιεί την εξίσωση.

ΕΞΙΣΩΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση