Ένα προς ένα

ghan · #1

Εάν $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}$ με $f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\cdot f\left( y \right)$ για κάθε $x,\,y\in \mathbb{R}$ , τότε η

είναι ένα προς ένα.

#2

Δεν θα μπορούσε να είναι f(x) = 1

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ;

Ιστοσελίδα · #3

Η συνάρτηση f(x)=1

ικανοποιεί τις υποθέσεις αλλά δεν είναι 1-1.

Αν προσθέσουμε στην υπόθεση ότι: η

παίρνει την τιμή

, μόνο όταν x=0

,

τότε η

είναι 1-1.

ghan · #4

Θα μπορούσε. Έτσι μου την έδωσαν και δεν μπορώ να βρω τι λείπει.

#5

...Καλημέρα

συμφωνώ με τον Στρατή και τον Δημήτρη και δίνω μία λύση για το ζητούμενο...

Έστω ότι $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ με ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ Τώρα αν υποθέσουμε ότι ισχύει ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ τότε ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}\ne 0$ άρα

${{x}_{1}}-{{x}_{2}}=a\ne 0\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}+a$ οπότε από $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Leftrightarrow f({{x}_{2}}+a)=f({{x}_{2}})\Leftrightarrow f({{x}_{2}})f(a)=f({{x}_{2}})$

και λόγω υπόθεσης $f({{x}_{2}})\ne 0$ οπότε f(a)=1

και επειδή $f(x)=1\Leftrightarrow x=0$ σύμφωνα με τα επιπλέον δεδομένα

προκύπτει a=0

άτοπο άρα

είναι 1-1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

BAGGP93 · #6

Η δοσμένη σχέση για x=y=0

δίνει

και αφού $f(x)\ne0$ παίρνουμε ότι f(0)=1

Έστω τυχαία $x_1,x_2\in R$ με f(x_1)=f(x_2)

.Τότε $f(x_1)f(-x_2)=f(x_2)f(-x_2)\Rightarrow f(x_1-x_2)=f(x_2-x_2)=f(0)=1$ .
Έπειτα η λύση είναι ίδια με αυτή που υπάρχει παραπάνω και έτσι δείχνουμε ότι x_1=x_2

.Άρα έχουμε το ζητούμενο
Έχω συναντήσει ακριβώς ίδια μόνο που έδινε ένα ακόμη στοιχείο.Η εξίσωση f(x)=1

έχει μοναδική λύση οπότε ήταν ευκολότερο να δείξεις οτι x_1=x_2

Ένα προς ένα

Ένα προς ένα

Re: Ένα προς ένα

Re: Ένα προς ένα

Re: Ένα προς ένα

Re: Ένα προς ένα

Re: Ένα προς ένα

Μέλη σε σύνδεση