Όριο-1-

#1

Να υπολογίσετε το όριο : $\displaystyle{L=\lim_{x\to +\infty}\int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{t^2+1} }d t$

#2

Γεια σου Φωτεινή
0

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Για $\displaystyle{ x \le t \le x + 1 }$ και x > 0 είναι $\displaystyle{ \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {t^2 + 1} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)^2 + 1} }} }$ οπότε
$\displaystyle{ \int\limits_x^{x + 1} {\frac{1}{{\sqrt {x^2 + 1} }}} \,dt \ge \int\limits_x^{x + 1} {\frac{1}{{\sqrt {t^2 + 1} }}} \,dt \ge \int\limits_x^{x + 1} {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)^2 + 1} }}} dt }$ δηλ. $\displaystyle{ \frac{{x + 1 - x}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \ge \int\limits_x^{x + 1} {\frac{1}{{\sqrt {t^2 + 1} }}} \,dt \ge \frac{{x + 1 - x}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)^2 + 1} }} }$
άρα $\displaystyle{ \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \ge \int\limits_x^{x + 1} {\frac{1}{{\sqrt {t^2 + 1} }}} \,dt \ge \frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)^2 + 1} }} }$ και με όρια στο + άπειρο βρίσκουμε το ζητούμενο όριο μηδέν .

mathxl · #4

Βρίσκουμε το όριο της ολοκληρωτέας παράστασης που είναι μηδέν και έπειτα με εφαρμογή του βολικού υποερωτήματος που φροντίζουμε να δώσουμε εδώ viewtopic.php?f=55&t=2832 τελειώσαμε

#5

mathxl έγραψε:Βρίσκουμε το όριο της ολοκληρωτέας παράστασης που είναι μηδέν και έπειτα με εφαρμογή του βολικού υποερωτήματος που φροντίζουμε να δώσουμε εδώ viewtopic.php?f=55&t=2832 τελειώσαμε

Ο τρόπος του Μάκη είναι σαφώς ο καλύτερος.

Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα που παραπέμπει, ενάς τρόπος απλόυστερος από τους πάραπάνω είναι να πούμε: Η προς ολοκλήρωση παράσταση είναι θετική και μικρότερη του 1/t

. Ολοκληρώνοντας, το ζητούμενο φράσεται από το

και το
$\log(1+x) - \log x = \log(1 + 1/x)$ που τείνει στο

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Όριο-1-

Όριο-1-

Re: Όριο-1-

Re: Όριο-1-

Re: Όριο-1-

Re: Όριο-1-

Μέλη σε σύνδεση