επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Κυρ Μάιος 12, 2013 5:01 pm

Άλλη μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του :logo:, για να μην μένει άλυτη.


Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}} , συνεχής και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb {R}}, με \displaystyle{|2z-i|\cdot f(x) + |2z+i|\cdot f(2-x) = |2z-i| + |2z+i| , z\in C - {\color{red}\left\{}\frac{1}{2} i {\color{red}\right\}}}

α) Να δείξετε ότι \displaystyle{ |2z-i| = |2z+i|}

β) Να δείξετε ότι: \displaystyle{z\in\mathbb{R}}

γ) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{f(x)<1}

δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση \displaystyle{h(x) =\int_{x}^{x+1}g(t)dt} , όπου \displaystyle{g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}} παραγωγίσιμη , γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο \displaystyle{ \mathbb {R}} και \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}=1007 \cdot \int_{0}^{2}f(x)dx}
i) Nα υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}}

ii) Να δείξετε ότι η \displaystyle{h} είναι 1-1 και στρέφει τα κοίλα κάτω στο \displaystyle{\mathbb {R}}

iii) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{\int_{x^2 +2014}^{x^2 +2015}g(t)dt+\int_{2016}^{2015}}g(t)dt=0}

iv) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(3x)-g(\eta \mu x)}{x}}


edit
Διόρθωση latex, θενξ Λευτέρη
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Κυρ Μάιος 12, 2013 5:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2749
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Μάιος 12, 2013 5:40 pm

parmenides51 έγραψε:Άλλη μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του :logo:, για να μην μένει άλυτη.


Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}} , συνεχής και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb {R}}, με \displaystyle{|2z-i|\cdot f(x) + |2z+i|\cdot f(2-x) = |2z-i| + |2z+i| , z\in C - \left\{ \frac{1}{2} i \right\}}

α) Να δείξετε ότι \displaystyle{ |2z-i| = |2z+i|}

β) Να δείξετε ότι: \displaystyle{z\in\mathbb{R}}

γ) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{f(x)<1}



α) Θέτουμε στην δοσμένη σχέση όπου x το 2-x,

οπότε βρίσκουμε \displaystyle{|2z-i|\cdot f(2-x) + |2z+i|\cdot f(x) = |2z-i| + |2z+i|}.

Συνεπώς:
\displaystyle{|2z-i|\cdot f(x) + |2z+i|\cdot f(2-x) = |2z-i|f(2-x) + |2z+i|f(x) \leftrightarrow (|2z-i|-|2z+i|)(f(2-x)-f(x))=0}, για κάθε x \in \mathbb{R}.

Επομένως: \displaystyle{|2z-i|-|2z+i|=0 \Leftrightarrow |2z-i|=|2z+i|}.

β) \displaystyle{|2z-i|=|2z+i|\Leftrightarrow |2z-i|^2=|2z+i|^2 \Lefrtightarrow (2z-i)(2\bar{z}+i)=(2z+i)(2\bar{z}-i) \Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow z\bar{z}+2zi-2\bar{z}i-i^2=z\bar{z}-2zi+2\bar{z}i-i^2 \Leftrightarrow 4zi=4\bar{z}i \Leftrightarrow z=\bar{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}}.

γ) Για x=1 στην αρχική σχέση έχουμε ότι:

\displaystyle{|2z-i|\cdot f(1) + |2z+i|\cdot f(1) = |2z-i| + |2z+i| \Leftrightarrow 2|2z-i|f(1)=2|2z-i| \Leftrightarrow f(1)=1}.

Αν x \geq 1 και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R} θα ισχύει \displaystyle{f(x) \geq f(1)} (απορρίπτεται).

Συνεπώς x < 1.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2749
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Μάιος 12, 2013 6:18 pm

parmenides51 έγραψε:
δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση \displaystyle{h(x) =\int_{x}^{x+1}g(t)dt} , όπου \displaystyle{g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}} παραγωγίσιμη , γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο \displaystyle{ \mathbb {R}} και \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}=1007 \cdot \int_{0}^{2}f(x)dx}
i) Nα υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}}

ii) Να δείξετε ότι η \displaystyle{h} είναι 1-1 και στρέφει τα κοίλα κάτω στο \displaystyle{\mathbb {R}}

iii) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{\int_{x^2 +2014}^{x^2 +2015}g(t)dt+\int_{2016}^{2015}}g(t)dt=0}

iv) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(3x)-g(\eta \mu x)}{x}}


δ. Έχουμε ότι \displaystyle{\int_0^2f(2-x)dx=\int_2^0f(u)(-du)=\int_0^2f(u)du=\int_0^2f(x)dx}.

Χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα η δοσμένη σχέση γράφεται \displaystyle{f(x)+f(2-x)=2}.

Συνεπώς:

\displaystyle{\int_0^2f(x)dx+\int_0^2f(2-x)dx=\int_0^2 2 dx \Leftrightarrow \int_0^2f(x)dx=2}.

i) Τότε \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}}=1007 \cdot 2 = 2014.

ii) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle{h'(x)=g(x+1)-g(x)<0}
(αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα),
οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και ένα προς ένα.

Η συνάρτηση h' είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle{h''(x)=g'(x+1)-g'(x)<0}
(αφού η g είναι κοίλη, άρα η g' είναι γνησίως φθίνουσα),
οπότε η h είναι κοίλη.

iii) Η δοσμένη εξίσωση ισδύναμα γράφεται: \displaystyle{h(x^2+2104)=h(2015)}

και αφού η h είναι ένα προς ένα προκύπτει \displaystyle{x^2+2014 =2015 \Leftrightarrow x=\pm1}.

iv) Έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(3x)}{x}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{3g(u)}{u}=3 \cdot 2014=6042}
και

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\eta \mu x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\eta \mu x)}{\eta \mu x}\frac{\eta \mu x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\eta \mu x)}{\eta \mu x}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{g(u)}{u}=2014}.

Συνεπώς

\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(3x)-g(\eta \mu x)}{x}=6042-2014=4028}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες