επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Κυρ Μάιος 12, 2013 5:53 pm

Μια ακόμα άσκηση του thanasis kopadis από τα αρχεία του :logo:.


Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}} με \displaystyle{f(0) = 1+ \sqrt2} για την οποία ισχύει \displaystyle{f^2(x) - 2e^xf(x) = 1} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb {R}} .
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x) =e^x+\sqrt{e^{2x}+1} \,\, , \, x\in \mathbb {R}}
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \displaystyle{f } και να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x) = 2013} έχει μοναδική πραγματική λύση.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x)= \ln f(x)} είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο \displaystyle{\mathbb {R}}.
δ) Αν \displaystyle{x_1 , x_2 , x_3\in \mathbb {R}} με \displaystyle{0<x_1< x_2< x_3} διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , να δείξετε ότι \displaystyle{f^2(x_2) < f(x_1) f(x_3)}
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{\xi \in (\alpha,\beta)} τέτοιο, ώστε να ισχύει \displaystyle{g(\xi) \int_{{\color{red}\xi}}^{\beta}f(u)du=f(\xi) \int_{\alpha}^{{\color{red}\xi}}g(u)du}
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{I=\int_{1}^{2}x^3 f(\ln x)dx}


edit
Διόρθωση στα άκρα στα ολοκληρώματα στο ε)
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Μάιος 13, 2013 9:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από dennys » Κυρ Μάιος 12, 2013 6:58 pm

1) Προσθέτοντας και στα δύο μέλη το e^{2x} θα έχουμε

(f(x)-e^{x})^{2}=e^{2x}+1και θέτοντας g(x)=f(x)-e^{x}\Rightarrow g^{2}(x)=e^{2x}+1

και έτσι g(x)\neq 0\Rightarrow g και αφου είναι συνεχής η gδιατηρεί πρόσημο και επειδή

g(0)=f(0)-e^{0}=\sqrt{2}>0\Rightarrow g>0\Rightarrow g(x)=\sqrt{e^{2x}+1}\Rightarrow f(x)=e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}

2)f{'}(x)=e^{x}+\cfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}>0\Rightarrow f\nearrow

και αρα το πεδίο τιμών είναι \displaystyle f(A)=(\lim_{x\to -\infty}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x)=(1,+\infty)απλά και επειδή

είναι συνεχής και το 2012\in f(A)\Rightarrowυπάρχει απο Θ.Ε.Τ. x_o\in \mathbb R : f(x_o)=2012

3)Για την συνάρτηση παραγωγίζοντας g{'}(x)=\cfrac{f{'}(x)}{f(x)}>0\Rightarrow g \nearrow

g{'}{'](x)=\cfrac{e^{x}f(x)}{\sqrt{e^{2x}+1}}>0\Rightarrow g κυρτή

4)Aπο την ανισότητα jensen και επειδή για τούς x_1,x_2,x_3 : 2x_2=x_1+x_3\Rightarrow g(\cfrac{x_1+x_3}{2})<\cfrac{g(x_1)+g(x_3)}{2}

2g(x_2)<g(x_1)+g(x_3)\Rightarrow 2\ln(f(x_2))<\ln(f(x_1))+\ln(f(x_3))\Rightarrow f^{2}(x_2)<f(x_1)f(x_3)

5)Mε θεώρημα Ρόλλ στο [a,b] για την συνάρτηση h(x)=\int_a^{x}f(t)dt\int_x^{b}g(t)dt και τέλοςT

6)Το ολοκλήρωμα αρχικά με τσάκισμα και μετά με αντικατάσταση

\displaystyle \int_1^{2}x^{3}f(lnx)dx=\int_1^{2}x^{4}dx+\int_1^{2}x^{3}\sqrt{x^{2}+1}=I_1+I_2και επειδή f(lnx)=x+\sqrt{x^{2}+1}

και για το πρώτο απλό !!!! και στο δεύτερο με x^{2}+1=u\Rightarrow x^{2}=u-1, 2xdx=du

και τα άκρα \displaystyle x=1, u=2,  x=2, u=5 \Rightarrow I_2=\int_2^{5}\cfrac{1}{2}(u-1)(\sqrt{u}du... απλό


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Τετ Απρ 01, 2009 7:12 pm
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ
Επικοινωνία:

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ » Κυρ Μάιος 12, 2013 9:09 pm

parmenides51 έγραψε:Μια ακόμα άσκηση του thanasis kopadis από τα αρχεία του :logo:.


Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}} με \displaystyle{f(0) = 1+ \sqrt2} για την οποία ισχύει \displaystyle{f^2(x) - 2e^xf(x) = 1} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb {R}} .
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x) =e^x+\sqrt{e^{2x}+1} \,\, , \, x\in \mathbb {R}}
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \displaystyle{f } και να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x) = 2013} έχει μοναδική πραγματική λύση.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x)= \ln f(x)} είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο \displaystyle{\mathbb {R}}.
δ) Αν \displaystyle{x_1 , x_2 , x_3\in \mathbb {R}} με \displaystyle{0<x_1< x_2< x_3} διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , να δείξετε ότι \displaystyle{f^2(x_2) < f(x_1) f(x_3)}
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{\xi \in (\alpha,\beta)} τέτοιο, ώστε να ισχύει \displaystyle{g(\xi) \int_{\alpha}^{\beta}f(u)du=f(\xi) \int_{\alpha}^{\beta}g(u)du}
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{I=\int_{1}^{2}x^3 f(\ln x)dx}



Το ερώτημα ε) έχει πρόβλημα. Για δες το ξανά.


Γ. Αλεξίου

Μην προσπερνάς το προφανές!
( Αϊνστάιν )
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από parmenides51 » Κυρ Μάιος 12, 2013 9:25 pm

ουπς έχεις δίκιο, αντέγραψα λάθος,
τα σωστά άκρα είναι στα ολοκληρώματα από \displaystyle{\xi} εως \displaystyle{\beta} και από \displaystyle{\alpha} εως \displaystyle{\xi}
θα τα διορθώσω όταν μπω από η/υ
ευχαριστώ

edit
χρήση latex
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Μάιος 13, 2013 9:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από dennys » Κυρ Μάιος 12, 2013 9:49 pm

Αμα τα αφήσουμε έτσι και κάνουμε Ρόλλ στην \displaystyle h(x)=\int_a^{x}lnf(t)dt\int_a^{b}f(u)du-\int_a^{x}f(t)dt\int_a^{b}lnf(u)du

τότε h(a)=0,h(b)=0...είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο [a,b]

και το βρήκαμε ή δεν με έπιασε το ντεπόν ακόμα..

φιλικα΄Διονύσης


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης