επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Τετ Μάιος 15, 2013 5:36 pm

Άλλη μια άσκηση του thanasis kopadis μέχρι να μάθει να χρησιμοποιεί το \displaystyle{\LaTeX}.


Δίνονται οι συναρτήσεις:
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{f} με \displaystyle{f\left( x \right)=\int\limits_{\frac{1}{x}}^{x}{\frac{t+lnt}{{{t}^{2}}+1}dt} \,\, , χ>0}
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{g} με \displaystyle{g(x) = f(e^x-1)- f(x) \,\, ,  x>0   } και

\displaystyle{\bullet} \displaystyle{h} ορισμένη και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(0,+\infty)} με \displaystyle{h(1) = 1+\frac{1}{e}} για την οποία ισχύει ότι \displaystyle{e^{x+h(x)}[1+xh'(x)] + {{e}^{1+{{e}^{-x }}}}= 0 \,\,, x>0}.

α) Να βρείτε τις συναρτήσεις \displaystyle{f'(x)} και \displaystyle{f(x)}

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f} , τον άξονα \displaystyle{x'x} και την ευθεία \displaystyle{y=1}

γ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{g(x)>0} για κάθε \displaystyle{x>0}

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση \displaystyle{g} ως προς τη μονοτονία

ε) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\int\limits_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}{x g\left( t \right)dt}}

στ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{h(x) = e^{-x} -\ln x +1 \,\, ,  x>0}

ζ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \displaystyle{h}

η) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f\left( \frac{4x}{{{x}^{2}}+3} \right)=\frac{1}{{{e}^{4x}}}-\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}+3}}} \,\,,  x>0}


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από dennys » Τετ Μάιος 15, 2013 11:10 pm

a)παραγωγίζοντας την δοσμένη σχέση f{'}(x)=\cfrac{x+\ lnx}{x^{2}+1}-\cfrac{1/x+\ln(1/x)}{\frac{1}{x^2}+1}(-\cfrac{1}{x^2})

\cfrac{x+lnx}{1+x^2}+\cfrac{1/x-lnx}{1+x^2}=\cfrac{x+1/x}{x^{2}+1}=\cfrac{1}{x}=(\ lnx){'}

f(x)=lnx+c,x=1,c=0\Rightarrow f(x)=lnx

b)Το ζητούμενο εμβαδόν είναι E=e-\int_1^{e}lnxdx=...=e-1 με παραγοντική ολοκλήρωση .

C)είναι g(x)=f(e^{x}-1)-f(x)>0/tex] γιατί η [tex]f \nearrow x>0, e^{x}-1>x,x>0\Rightarrow f(e^{x}-1)>f(x)\Rightarrow g>0

d) g{'}(x)=\cfrac{xe^{x}-e^{x}+1}{x(e^{x}-1)}=\cfrac{h(x)}{x(e^{x}-1)}>0 γιατί

h(0)=0,h{'}(x)=xe^{x}>0,x>0\Righatrrow g \nearrow

e)με αλλαγή μεταβλητής 1/x=u\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}x\int_{1/x}^{2/x}g(t)dt=

=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{\int_{1/x}^{2/x}g(t)dt}{1/x}=\lim_{u\to 0}\cfrac{\int_u^{2u}g(t)dt}{u}=DLH= 0

αφού \lim_{x\to 0}g(x)=1

στ) η δοσμένη σχέση γίνεται xe^{x}e^{h(x)}(1/x+h{'}(x))=-e^{1+e^{-x}}\Rightarrow (e^{h(x)+lnx}){'}=-e^{-x+1+e^{-x}}=(e^{e^{-x}+1}){'}

αρα e^{h(x)+lnx}=e^{e^{-x}+1}+c...x=1,c=0\Rightarrow h(x)+lnx=e^{-x}+1 \Rightarrow h(x)=e^{-x}-lnx+1

διάλλειμα για διαφημήσεις ....


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από dennys » Τετ Μάιος 15, 2013 11:19 pm

η μονοτονια της h(x)

h{'}(x)=-e^{-x}-1/x<0\Rightarrow h \searrow

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}h(x)=+\infty, \lim_{x\to +\infty}h(x)=-\infty

h(A)=(-\infty,+\infty)=\mathbb R

η εξίσωση ισοδύναμα είναι h(x^{2}+3)=h(4x) ,αφου f(x)=lnx

και επειδή h \searrow \Rightarrow h "1-1"\Rightarrow x^{2}+3=4x\Rightarrow x=1,x=3 οι λύσεις

Φιλικά


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 810
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm
Τοποθεσία: Έδεσσα

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από apotin » Πέμ Μάιος 16, 2013 8:13 am

Για το (α) χωρίς παραγώγιση

Είναι \displaystyle{f\left( x \right) = \int\limits_{\frac{1}{x}}^x {\frac{{t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt}  = \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {\frac{{t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt}  + \int\limits_1^x {\frac{{t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt}  = I + J}

Στο \displaystyle{I} θέτουμε \displaystyle{t = \frac{1}{u}} οπότε \displaystyle{dt =  - \frac{1}{{{u^2}}}du}

και \displaystyle{t = 1 \Rightarrow u = 1}, \displaystyle{t = \frac{1}{x} \Rightarrow u = x}

Τότε

\displaystyle{I =  - \int\limits_x^1 {\frac{{\frac{1}{u} + \ln \frac{1}{u}}}{{\frac{1}{{{u^2}}} + 1}}\frac{1}{{{u^2}}}du}  = \int\limits_1^x {\frac{{\frac{1}{u} - \ln u}}{{1 + {u^2}}}du} }

οπότε

\displaystyle{f\left( x \right) = I + J = \int\limits_1^x {\frac{{\frac{1}{t} - \ln t + t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt}  = \int\limits_1^x {\frac{{\frac{{1 + {t^2}}}{t}}}{{{t^2} + 1}}dt}  = \int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt = \ln x} }


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 810
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm
Τοποθεσία: Έδεσσα

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από apotin » Πέμ Μάιος 16, 2013 5:13 pm

Για το εμβαδόν έχουμε ότι \displaystyle{0 < x \le e}
Μήπως χρειάζεται αντιμετώπιση με όριο;


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Πέμ Μάιος 16, 2013 5:24 pm

Kαλησπέρα. Το εμβαδόν μπορεί να χωριστεί σε Ε1 , Ε2. Το Ε1 είναι τετράγωνο πλευράς 1 και το Ε2 (από 1 εως e) κανονικά.
Καλή δύναμη και καλή επιτυχία στους μαθητές σας!


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες