επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

parmenides51 · #1

Άλλη μια άσκηση του thanasis kopadis μέχρι να μάθει να χρησιμοποιεί το $\displaystyle{\LaTeX}$ .

Δίνονται οι συναρτήσεις:
$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f\left( x \right)=\int\limits_{\frac{1}{x}}^{x}{\frac{t+lnt}{{{t}^{2}}+1}dt} \,\, , χ>0}$
$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g(x) = f(e^x-1)- f(x) \,\, , x>0 }$ και

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{h}$ ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ με $\displaystyle{h(1) = 1+\frac{1}{e}}$ για την οποία ισχύει ότι $\displaystyle{e^{x+h(x)}[1+xh'(x)] + {{e}^{1+{{e}^{-x }}}}= 0 \,\,, x>0}$ .

α) Να βρείτε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f'(x)}$ και $\displaystyle{f(x)}$

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και την ευθεία $\displaystyle{y=1}$

γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{g(x)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\displaystyle{g}$ ως προς τη μονοτονία

ε) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\int\limits_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}{x g\left( t \right)dt}}$

στ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{h(x) = e^{-x} -\ln x +1 \,\, , x>0}$

ζ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{h}$

η) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( \frac{4x}{{{x}^{2}}+3} \right)=\frac{1}{{{e}^{4x}}}-\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}+3}}} \,\,, x>0}$

dennys · #2

a)παραγωγίζοντας την δοσμένη σχέση $f{'}(x)=\cfrac{x+\ lnx}{x^{2}+1}-\cfrac{1/x+\ln(1/x)}{\frac{1}{x^2}+1}(-\cfrac{1}{x^2})$

$\cfrac{x+lnx}{1+x^2}+\cfrac{1/x-lnx}{1+x^2}=\cfrac{x+1/x}{x^{2}+1}=\cfrac{1}{x}=(\ lnx){'}$

$f(x)=lnx+c,x=1,c=0\Rightarrow f(x)=lnx$

b)Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $E=e-\int_1^{e}lnxdx=...=e-1$ με παραγοντική ολοκλήρωση .

C)είναι $g(x)=f(e^{x}-1)-f(x)>0/tex] γιατί η f \nearrow x>0, e^{x}-1>x,x>0\Rightarrow f(e^{x}-1)>f(x)\Rightarrow g>0$

d) $g{'}(x)=\cfrac{xe^{x}-e^{x}+1}{x(e^{x}-1)}=\cfrac{h(x)}{x(e^{x}-1)}>0$ γιατί

$h(0)=0,h{'}(x)=xe^{x}>0,x>0\Righatrrow g \nearrow$

e)με αλλαγή μεταβλητής $1/x=u\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}x\int_{1/x}^{2/x}g(t)dt=$

$=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{\int_{1/x}^{2/x}g(t)dt}{1/x}=\lim_{u\to 0}\cfrac{\int_u^{2u}g(t)dt}{u}=DLH= 0$

αφού $\lim_{x\to 0}g(x)=1$

στ) η δοσμένη σχέση γίνεται $xe^{x}e^{h(x)}(1/x+h{'}(x))=-e^{1+e^{-x}}\Rightarrow (e^{h(x)+lnx}){'}=-e^{-x+1+e^{-x}}=(e^{e^{-x}+1}){'}$

αρα $e^{h(x)+lnx}=e^{e^{-x}+1}+c...x=1,c=0\Rightarrow h(x)+lnx=e^{-x}+1 \Rightarrow h(x)=e^{-x}-lnx+1$

διάλλειμα για διαφημήσεις ....

dennys · #3

η μονοτονια της h(x)

$h{'}(x)=-e^{-x}-1/x<0\Rightarrow h \searrow$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}h(x)=+\infty, \lim_{x\to +\infty}h(x)=-\infty$

$h(A)=(-\infty,+\infty)=\mathbb R$

η εξίσωση ισοδύναμα είναι $h(x^{2}+3)=h(4x)$ ,αφου f(x)=lnx

και επειδή $h \searrow \Rightarrow h "1-1"\Rightarrow x^{2}+3=4x\Rightarrow x=1,x=3$ οι λύσεις

Φιλικά

apotin · #4

Για το (α) χωρίς παραγώγιση

Είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = \int\limits_{\frac{1}{x}}^x {\frac{{t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt} = \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {\frac{{t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt} + \int\limits_1^x {\frac{{t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt} = I + J}$

Στο $\displaystyle{I}$ θέτουμε $\displaystyle{t = \frac{1}{u}}$ οπότε $\displaystyle{dt = - \frac{1}{{{u^2}}}du}$

και $\displaystyle{t = 1 \Rightarrow u = 1}$ , $\displaystyle{t = \frac{1}{x} \Rightarrow u = x}$

Τότε

$\displaystyle{I = - \int\limits_x^1 {\frac{{\frac{1}{u} + \ln \frac{1}{u}}}{{\frac{1}{{{u^2}}} + 1}}\frac{1}{{{u^2}}}du} = \int\limits_1^x {\frac{{\frac{1}{u} - \ln u}}{{1 + {u^2}}}du} }$

οπότε

$\displaystyle{f\left( x \right) = I + J = \int\limits_1^x {\frac{{\frac{1}{t} - \ln t + t + \ln t}}{{{t^2} + 1}}dt} = \int\limits_1^x {\frac{{\frac{{1 + {t^2}}}{t}}}{{{t^2} + 1}}dt} = \int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt = \ln x} }$

apotin · #5

Για το εμβαδόν έχουμε ότι $\displaystyle{0 < x \le e}$
Μήπως χρειάζεται αντιμετώπιση με όριο;

thanasis kopadis · #6

Kαλησπέρα. Το εμβαδόν μπορεί να χωριστεί σε Ε1 , Ε2. Το Ε1 είναι τετράγωνο πλευράς 1 και το Ε2 (από 1 εως e) κανονικά.
Καλή δύναμη και καλή επιτυχία στους μαθητές σας!

επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 5 (ανάλυση)

Μέλη σε σύνδεση