Η εξίσωση Kepler

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Η εξίσωση Kepler

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Παρ Ιούλ 05, 2013 3:40 pm

Η εξίσωση του Kepler είναι μια τριγωνομετρική εξίσωση, που χρησιμοποιείται στην αστρονομία και υπολογίζει την έκκεντρη ανωμαλία t (σε μοίρες) αν γνωρίζουμε την εκκεντρότητα της τροχιάς e και τη μέση απόκλιση της τροχιάς M (μέση ανωμαλία).
Έχει τύπο M+e\cdot sint=t (M\epsilon [-\pi ,\pi ] και 0<e<1).

Η άσκηση
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x-e\cdot sinx=1 , 0<e<1 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (-1,2).


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Η εξίσωση Kepler

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιούλ 13, 2013 10:33 am

thanasis kopadis έγραψε:Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x-e\cdot sinx=1 , 0<e<1 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (-1,2).


Ύπαρξη

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x-e\sin x-1,~x\in[-1,2]} η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών.

\displaystyle{\bullet f(-1)=1-e\sin(-1)-1=-2+e\sin 1}

Έχουμε \displaystyle{0<1<\frac{\pi}{2}\Rightarrow 0<\sin 1<1} και \displaystyle{0<e<1} άρα \displaystyle{f(-1)<0}

\displaystyle{\bullet f(2)=2-e\sin 2-1=1-e\sin 2}

Έχουμε \displaystyle{\frac{\pi}{2}<2<\pi\Rightarrow 0<\sin 2<1} και \displaystyle{0<e<1} άρα \displaystyle{f(2)>0}.

Αφού \displaystyle{f(-1)f(2)<0} από το θ. Bolzano, η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο \displaystyle{(-1,2)}.

Μοναδικότητα

Η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle{f'(x)=1-e\cos x\geq 0}. Η παράγωγος στο διάστημα \displaystyle{(-1,2)} μηδενίζεται μόνο για \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}

άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή και \displaystyle{1-1} άρα η ρίζα είναι μοναδική.


Γιώργος

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης