θέμα με ολοκληρώματα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

θέμα με ολοκληρώματα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Giorgos S » Κυρ. Ιούλ. 14, 2013 3:19 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g, οι οποίες είναι συνεχείς στο [a,b]. Έστω \Omega_{1} και \Omega_{2} τα χωρία που σχηματίζουν με τον x'x και τις ευθείες x=a,x=b οι C_{f} και C_{g} αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει ότι: E(\Omega_{1})=3E(\Omega_{2}).Επιπλέον ισχύει ότι: f(x)+3g(x) \geq 0 , x \in [a,b] . Ορίζουμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)g(x),x \in [a,b] , για την οποία γνωρίζουμε ότι h(x)<0 , για κάθε x \in [a,b].

1) Να αποδείξετε ότι για κάθε x \in [a,b] ισχύει: 3g^{2}(x)=-h(x) .

2) Ορίζουμε τη συνάρτηση: F(x)=\int_{a}^{x}{[f(t)-g(t)]dt} , x \in [a,b]. Να αποδείξετε ότι η F δεν έχει ρίζα στο (a,b].

3) Θεωρούμε συνάρτηση \phi, συνεχή, με A_{\phi}= \mathbb R και \phi (A) = [f(x) , g(x)] . Να αποδείξετε ότι:

i. η \phi έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο A_{ \phi }

ii. F(b) \leq \int_{a}^{b}{\frac{3\phi(x)+f(x)}{3}dx}


Edit:προσθήκη της συνέχειας στο 3
Τελευταία επεξεργασία από Giorgos S και Δευτ. Ιούλ. 15, 2013 10:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά/ες συνολικά
Βρίσκω την τηλεόραση πολύ διαπαιδαγωγική. Όποτε κάποιος την ανοίγει, πάω στο άλλο δωμάτιο και διαβάζω ένα βιβλίο.
Groucho Marx, comedian


1+1=3 για μεγάλες τιμές του 1...
Giorgos S
 
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Κυρ. Μαρ. 24, 2013 12:47 am
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό BAGGP93 » Δευτ. Ιούλ. 15, 2013 2:16 pm

Λύση

\displaystyle{1)} Υποθέτουμε ότι υπάρχει \displaystyle{y\in\left[a,b\right]} τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(y)\,\, \kappa \alpha \iota\,\,g(y)<0}

Τότε θα ισχύει και \displaystyle{f(y)+3g(y)<0} , το οποίο αντίκειται στην υπόθεση \displaystyle{f(x)+3\,g(x)\geq 0\,,x\in\left[a,b\right]}

Επομένως, για κάθε \displaystyle{x\in\left[a,b\right]} είναι \displaystyle{f(x)\geq 0} ή \displaystyle{g(x)\geq 0\,\,(I)}

Δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα \displaystyle{f(x)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,g(x)\geq 0} διότι τότε θα έχουμε

\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:h(x)\geq 0} , άτοπο.

Επίσης, δεν μπορεί να ισχύει ότι \displaystyle{f(x_0)=0} ή \displaystyle{g(x_0)=0} για κάποιο \displaystyle{x_0\in\left[a,b\right]} διότι θα είχαμε και

\displaystyle{h(x_0)=0} , το οποίο είναι άτοπο.

Άρα, λαμβάνοντας υπ' όψιν και την συνέχεια των συναρτήσεων \displaystyle{f,g} , έχουμε ότι αυτές διατηρούν σταθερό πρόσημο στο πεδίο ορισμού τους.

Επειδή λοιπόν \displaystyle{h(x)=f(x)\,g(x)<0\,,x\in\left[a,b\right]} , θα ισχύει

\displaystyle{\left[\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)>0\ \land g(x)<0\right]\ \lor\,\, \left[\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)<0\ \land g(x)>0\right]}

Αν ισχύει η πρώτη περίπτωση , τότε,

\displaystyle{E_1=3E_2\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-3\int_{a}^{b}g(x)\,dx\Rightarrow \int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}

Αν ισχύει η δεύτερη περίπτωση , τότε,

\displaystyle{E_1=3E_2\Rightarrow -\int_{a}^{b}f(x)\,dx=3\int_{a}^{b}g(x)\,dx\Rightarrow \int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}

Συνεπώς, \displaystyle{\int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}

Όμως, η συνάρτηση \displaystyle{f+3\,g} είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών και μη αρνητική, οπότε,

\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)+3g(x)=0\Rightarrow \forall x\in\left[a,b\right]:f(x)=-3g(x)\Rightarrow \forall x\in\left[a,b\right]:h(x)=-3\,g^2(x)}

\displaystyle{2)} Η συνάρτηση \displaystyle{h:\left[a,b\right]\to \mathbb{R}} με τύπο \displaystyle{h(t)=f(t)-g(t)}

είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[a,b\right]} ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

Έτσι, η συνάρτηση \displaystyle{F} είναι παραγωγίσιμη(άρα και συνεχής) στο \displaystyle{\left[a,b\right]} με παράγωγο

\displaystyle{F^\prime(x)=f(x)-g(x)\,\,,x\in\left[a,b\right]}

Έστω ότι υπάρχει \displaystyle{k\in\left(a,b\right]} τέτοιο, ώστε \displaystyle{F(k)=0}

Η \displaystyle{F} ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος \displaystyle{Rolle} στο \displaystyle{\left[a,k\right]} και συνεπώς,

υπάρχει \displaystyle{\xi\in\left(a,k\right)} τέτοιο, ώστε \displaystyle{F^\prime(\xi)=0\Leftrightarrow f(\xi)=g(\xi)}.

Τότε, \displaystyle{f(\xi)+3\,g(\xi)=0\Rightarrow 4\,g(\xi)=0\Rightarrow g(\xi)=0\stackrel{1)}{\Rightarrow} h(\xi)=0} , άτοπο.

\displaystyle{3i)} Αρχικά, επειδή, \displaystyle{\varphi\left(A\right)=\left[f(x),g(x)\right]} , έχουμε ότι

\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)<g(x)}

Σύμφωνα με το \displaystyle{1)} , έπεται ότι \displaystyle{f(x)<0\,\,,g(x)>0\,\,,x\in\left[a,b\right]} , οπότε,

\displaystyle{0\in\left[f(x),g(x)\right]\Rightarrow 0\in \varphi\left(A\right)\Rightarrow \exists\,\rho\in A\,:\varphi(\rho)=0} ,

γεγονός που αποδεικνύει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της συνάρτησης \displaystyle{\varphi}.

\displaystyle{3ii)} Είναι,

\displaystyle{\begin{aligned} F(b)\leq \int_{a}^{b}\frac{3\,\varphi(x)+f(x)}{3}\,dx&\Leftrightarrow 3\,F(b)\leq \int_{a}^{b}\left(3\,\varphi(x)+f(x)\right)\,dx\\&\Leftrightarrow 3\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx-3\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx\leq 3\,\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx+\int_{a}^{b}f(x)\,dx\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx\geq \int_{a}^{b}\left(2\,f(x)-3\,g(x)\right)\,dx\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left(\varphi(x)-2\,f(x)+3\,g(x)\right)\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\left(\varphi(x)-3\,f(x)\right)+\left(f(x)+3\,g(x)\right)\right]\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\varphi(x)-3\,f(x)\right]\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\left(\varphi(x)-f(x)\right)-2\,f(x)\right]\,dx\geq 0\end{aligned}}

Η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι για κάθε \displaystyle{x\in\left[a,b\right]} είναι,

\displaystyle{\varphi(x)-f(x)\geq 0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,f(x)<0}}

Θεώρησα ότι η συνάρτηση \displaystyle{\varphi} είναι ολοκληρώσιμη.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
 
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Σάβ. Ιούλ. 02, 2011 7:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Christos75 » Δευτ. Ιούλ. 15, 2013 6:26 pm

Να δώσω κι εγώ την δική μου προσέγγιση για την δοθείσα στα ερωτήματα 2) και 3).

2)
Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{F(x)=\int_{\alpha }^{x}[f(t)-g(t)]dt, \,\,x\in [\alpha ,\beta ]} η οποία είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,\beta ]} ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

Θα χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπο απαγωγή. Έστω λοιπόν ότι η συνάρτηση F έχει ρίζα-έστω x_{0}-τότε:

\displaystyle{F(x_{0})=0, \, \,x_{0}\in (\alpha,\beta ]}

\bullet Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,x_{0}] }

\bullet Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,x_{0})} με \displaystyle{x_{0}\in (\alpha ,\beta]}

\bullet ισχύει \displaystyle{F(\alpha ) = F(x_{0}) (= 0)} αφού \displaystyle{F(\alpha )=\int_{\alpha }^{\alpha } [f(t)-g(t)]dt = 0}

Εφόσον ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle \displaystyle{\exists \,\,\,\xi \in (\alpha ,x_{0}): F'(\xi) = 0}

Αλλά \displaystyle{F'(x) = f(x)-g(x)} οπότε

\displaystyle{F'(\xi) = 0 \Leftrightarrow f(\xi) = g(\xi)\overset{\cdot g(\xi)\neq 0}{\rightarrow} f(\xi) \cdot g(\xi) = [g(\xi)]^{2}\Leftrightarrow h(\xi)= [g(\xi)]^{2} > 0}

ΑΤΟΠΟ αφού εξ' υποθέσεως ισχύει ότι

\displaystyle{h(x) < 0} Άρα δεν υπάρχει ρίζα της F στο διάστημα \displaystyle{(\alpha ,\beta ]}

3) i) Είναι \displaystyle{A_{\varphi } = \mathbb{R}\,\,\,\, \wedge\,\,\, \varphi (A)=[f(x),g(x)]}

Από το πεδίο τιμών συμπεραίνουμε ότι \displaystyle{f(x) < g(x)\,\, (5)} επίσης εφόσον η συνάρτηση h είναι αρνητική τότε έχουμε ότι:

\displaystyle{f(x) < 0\,\,\wedge \,\, g(x) > 0} συνεπώς \displaystyle{0\in \varphi (A)} που σημαίνει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης

\displaystyle{\varphi}

ii) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι \displaystyle{f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x) < 0}

Έχουμε την συνάρτηση \displaystyle{F(x)=\int_{\alpha }^{x}[f(t)-g(t)]dt, \,\,x\in [\alpha ,\beta ]} από όπου παράγωγίζοντάς την έχουμε ότι

\displaystyle{F'(x)=f(x)-g(x)}

Θεωρούμε την συνάρτηση : \displaystyle{H(x) = F(x) - \int_{\alpha }^{x}\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx, \,\,\,x\in [\alpha ,\beta ]}, η οποία είναι συνεχής και

παραγωγίσιμη συνάρτηση. Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο, έχουμε ότι:

\displaystyle{H'(x) = F'(x) - (\int_{\alpha }^{x}\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx)' = F'(x)-\frac{3\varphi (x)+f(x)}{3}\Leftrightarrow }

\displaystyle{H'(x) = F'(x)-\frac{3\varphi (x)+f(x)}{3} = f(x)-g(x)-\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}= \frac{3f(x)-3g(x)-3\varphi (x)-f(x)}{3} = }

\displaystyle{=\frac{2f(x)-3g(x)-3\varphi (x)}{3}= \frac{2f(x)-3(g(x)-\varphi (x))}{3} < 0, \,\,}

αφού \displaystyle{f(x)\leq \varphi (x)\leq g(x)\Rightarrow g(x)\geq \varphi (x)\Leftrightarrow g(x)-\varphi (x)\geq 0} και επίσης \displaystyle{f(x) < 0 }

από προηγούμενο ερώτημα. Συνεπώς \displaystyle{H'(x) < 0\Rightarrow} H είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, οπότε

για \displaystyle{\alpha \leq \beta \Rightarrow H(\alpha) \geq H(\beta)}

\displaystyle{\Rightarrow F(\alpha) - \int_{\alpha }^{\alpha }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx \geq F(\beta) - \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx}

\displaystyle{\Leftrightarrow F(\beta) - \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx \leq 0\Leftrightarrow F(\beta)\leq \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx}

όπου και αποδείχθηκε το ζητούμενο.
Τελευταία επεξεργασία από Christos75 και Παρ. Ιούλ. 19, 2013 10:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά/ες συνολικά
Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
 
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Δευτ. Φεβ. 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό pastavr » Τρί. Ιούλ. 16, 2013 8:52 am

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) > 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) < 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq  0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}

Από τις σχέσεις (3), (4) έχουμε ότι \displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}








Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;
Παύλος Σταυρόπουλος
pastavr
 
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Κυρ. Δεκ. 21, 2008 5:50 pm

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Christos75 » Τρί. Ιούλ. 16, 2013 9:30 am

pastavr έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις:

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) > 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) < 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq  0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}

Από τις σχέσεις (3), (4) έχουμε ότι \displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}








Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;


Εννοώ ότι με όποιο g(x)\neq 0 και αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση θα έχουμε μία εκ των δύο. Συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το "κοινό" τους σημείο θα είναι μόνο το 0.
Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
 
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Δευτ. Φεβ. 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό pastavr » Τρί. Ιούλ. 16, 2013 5:50 pm

Christos75 έγραψε:
pastavr έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις:

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) > 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) < 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq  0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}

Από τις σχέσεις (3), (4) έχουμε ότι \displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}








Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;


Εννοώ ότι με όποιο g(x)\neq 0 και αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση θα έχουμε μία εκ των δύο. Συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το "κοινό" τους σημείο θα είναι μόνο το 0.


Δεν ξέρω αν κάνω κάτι λάθος αλλά η διαφωνία μου είναι σε αυτό που λες κοινό σημείο . Οι δύο σχέσεις έχουν προέλθει από διαφορετική προυπόθεση ( η μία ότι \displaystyle{g\left( x \right) > 0} και ή άλλη ότι \displaystyle{g\left( x \right) < 0} )
Οπότε πως μπορούν να έχουν κοινό σημείο ;
Παύλος Σταυρόπουλος
pastavr
 
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Κυρ. Δεκ. 21, 2008 5:50 pm


Επιστροφή στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης