Σελίδα 1 από 1

θέμα με ολοκληρώματα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 14, 2013 4:19 pm
από Giorgos S
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g, οι οποίες είναι συνεχείς στο [a,b]. Έστω \Omega_{1} και \Omega_{2} τα χωρία που σχηματίζουν με τον x'x και τις ευθείες x=a,x=b οι C_{f} και C_{g} αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει ότι: E(\Omega_{1})=3E(\Omega_{2}).Επιπλέον ισχύει ότι: f(x)+3g(x) \geq 0 , x \in [a,b] . Ορίζουμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)g(x),x \in [a,b] , για την οποία γνωρίζουμε ότι h(x)<0 , για κάθε x \in [a,b].

1) Να αποδείξετε ότι για κάθε x \in [a,b] ισχύει: 3g^{2}(x)=-h(x) .

2) Ορίζουμε τη συνάρτηση: F(x)=\int_{a}^{x}{[f(t)-g(t)]dt} , x \in [a,b]. Να αποδείξετε ότι η F δεν έχει ρίζα στο (a,b].

3) Θεωρούμε συνάρτηση \phi, συνεχή, με A_{\phi}= \mathbb R και \phi (A) = [f(x) , g(x)] . Να αποδείξετε ότι:

i. η \phi έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο A_{ \phi }

ii. F(b) \leq \int_{a}^{b}{\frac{3\phi(x)+f(x)}{3}dx}


Edit:προσθήκη της συνέχειας στο 3

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 15, 2013 3:16 pm
από BAGGP93
Λύση

\displaystyle{1)} Υποθέτουμε ότι υπάρχει \displaystyle{y\in\left[a,b\right]} τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(y)\,\, \kappa \alpha \iota\,\,g(y)<0}

Τότε θα ισχύει και \displaystyle{f(y)+3g(y)<0} , το οποίο αντίκειται στην υπόθεση \displaystyle{f(x)+3\,g(x)\geq 0\,,x\in\left[a,b\right]}

Επομένως, για κάθε \displaystyle{x\in\left[a,b\right]} είναι \displaystyle{f(x)\geq 0} ή \displaystyle{g(x)\geq 0\,\,(I)}

Δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα \displaystyle{f(x)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,g(x)\geq 0} διότι τότε θα έχουμε

\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:h(x)\geq 0} , άτοπο.

Επίσης, δεν μπορεί να ισχύει ότι \displaystyle{f(x_0)=0} ή \displaystyle{g(x_0)=0} για κάποιο \displaystyle{x_0\in\left[a,b\right]} διότι θα είχαμε και

\displaystyle{h(x_0)=0} , το οποίο είναι άτοπο.

Άρα, λαμβάνοντας υπ' όψιν και την συνέχεια των συναρτήσεων \displaystyle{f,g} , έχουμε ότι αυτές διατηρούν σταθερό πρόσημο στο πεδίο ορισμού τους.

Επειδή λοιπόν \displaystyle{h(x)=f(x)\,g(x)<0\,,x\in\left[a,b\right]} , θα ισχύει

\displaystyle{\left[\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)>0\ \land g(x)<0\right]\ \lor\,\, \left[\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)<0\ \land g(x)>0\right]}

Αν ισχύει η πρώτη περίπτωση , τότε,

\displaystyle{E_1=3E_2\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-3\int_{a}^{b}g(x)\,dx\Rightarrow \int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}

Αν ισχύει η δεύτερη περίπτωση , τότε,

\displaystyle{E_1=3E_2\Rightarrow -\int_{a}^{b}f(x)\,dx=3\int_{a}^{b}g(x)\,dx\Rightarrow \int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}

Συνεπώς, \displaystyle{\int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}

Όμως, η συνάρτηση \displaystyle{f+3\,g} είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών και μη αρνητική, οπότε,

\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)+3g(x)=0\Rightarrow \forall x\in\left[a,b\right]:f(x)=-3g(x)\Rightarrow \forall x\in\left[a,b\right]:h(x)=-3\,g^2(x)}

\displaystyle{2)} Η συνάρτηση \displaystyle{h:\left[a,b\right]\to \mathbb{R}} με τύπο \displaystyle{h(t)=f(t)-g(t)}

είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[a,b\right]} ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

Έτσι, η συνάρτηση \displaystyle{F} είναι παραγωγίσιμη(άρα και συνεχής) στο \displaystyle{\left[a,b\right]} με παράγωγο

\displaystyle{F^\prime(x)=f(x)-g(x)\,\,,x\in\left[a,b\right]}

Έστω ότι υπάρχει \displaystyle{k\in\left(a,b\right]} τέτοιο, ώστε \displaystyle{F(k)=0}

Η \displaystyle{F} ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος \displaystyle{Rolle} στο \displaystyle{\left[a,k\right]} και συνεπώς,

υπάρχει \displaystyle{\xi\in\left(a,k\right)} τέτοιο, ώστε \displaystyle{F^\prime(\xi)=0\Leftrightarrow f(\xi)=g(\xi)}.

Τότε, \displaystyle{f(\xi)+3\,g(\xi)=0\Rightarrow 4\,g(\xi)=0\Rightarrow g(\xi)=0\stackrel{1)}{\Rightarrow} h(\xi)=0} , άτοπο.

\displaystyle{3i)} Αρχικά, επειδή, \displaystyle{\varphi\left(A\right)=\left[f(x),g(x)\right]} , έχουμε ότι

\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)<g(x)}

Σύμφωνα με το \displaystyle{1)} , έπεται ότι \displaystyle{f(x)<0\,\,,g(x)>0\,\,,x\in\left[a,b\right]} , οπότε,

\displaystyle{0\in\left[f(x),g(x)\right]\Rightarrow 0\in \varphi\left(A\right)\Rightarrow \exists\,\rho\in A\,:\varphi(\rho)=0} ,

γεγονός που αποδεικνύει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της συνάρτησης \displaystyle{\varphi}.

\displaystyle{3ii)} Είναι,

\displaystyle{\begin{aligned} F(b)\leq \int_{a}^{b}\frac{3\,\varphi(x)+f(x)}{3}\,dx&\Leftrightarrow 3\,F(b)\leq \int_{a}^{b}\left(3\,\varphi(x)+f(x)\right)\,dx\\&\Leftrightarrow 3\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx-3\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx\leq 3\,\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx+\int_{a}^{b}f(x)\,dx\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx\geq \int_{a}^{b}\left(2\,f(x)-3\,g(x)\right)\,dx\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left(\varphi(x)-2\,f(x)+3\,g(x)\right)\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\left(\varphi(x)-3\,f(x)\right)+\left(f(x)+3\,g(x)\right)\right]\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\varphi(x)-3\,f(x)\right]\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\left(\varphi(x)-f(x)\right)-2\,f(x)\right]\,dx\geq 0\end{aligned}}

Η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι για κάθε \displaystyle{x\in\left[a,b\right]} είναι,

\displaystyle{\varphi(x)-f(x)\geq 0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,f(x)<0}}

Θεώρησα ότι η συνάρτηση \displaystyle{\varphi} είναι ολοκληρώσιμη.

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 15, 2013 7:26 pm
από Christos75
Να δώσω κι εγώ την δική μου προσέγγιση για την δοθείσα στα ερωτήματα 2) και 3).

2)
Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{F(x)=\int_{\alpha }^{x}[f(t)-g(t)]dt, \,\,x\in [\alpha ,\beta ]} η οποία είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,\beta ]} ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

Θα χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπο απαγωγή. Έστω λοιπόν ότι η συνάρτηση F έχει ρίζα-έστω x_{0}-τότε:

\displaystyle{F(x_{0})=0, \, \,x_{0}\in (\alpha,\beta ]}

\bullet Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,x_{0}] }

\bullet Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,x_{0})} με \displaystyle{x_{0}\in (\alpha ,\beta]}

\bullet ισχύει \displaystyle{F(\alpha ) = F(x_{0}) (= 0)} αφού \displaystyle{F(\alpha )=\int_{\alpha }^{\alpha } [f(t)-g(t)]dt = 0}

Εφόσον ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle \displaystyle{\exists \,\,\,\xi \in (\alpha ,x_{0}): F'(\xi) = 0}

Αλλά \displaystyle{F'(x) = f(x)-g(x)} οπότε

\displaystyle{F'(\xi) = 0 \Leftrightarrow f(\xi) = g(\xi)\overset{\cdot g(\xi)\neq 0}{\rightarrow} f(\xi) \cdot g(\xi) = [g(\xi)]^{2}\Leftrightarrow h(\xi)= [g(\xi)]^{2} > 0}

ΑΤΟΠΟ αφού εξ' υποθέσεως ισχύει ότι

\displaystyle{h(x) < 0} Άρα δεν υπάρχει ρίζα της F στο διάστημα \displaystyle{(\alpha ,\beta ]}

3) i) Είναι \displaystyle{A_{\varphi } = \mathbb{R}\,\,\,\, \wedge\,\,\, \varphi (A)=[f(x),g(x)]}

Από το πεδίο τιμών συμπεραίνουμε ότι \displaystyle{f(x) < g(x)\,\, (5)} επίσης εφόσον η συνάρτηση h είναι αρνητική τότε έχουμε ότι:

\displaystyle{f(x) < 0\,\,\wedge \,\, g(x) > 0} συνεπώς \displaystyle{0\in \varphi (A)} που σημαίνει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης

\displaystyle{\varphi}

ii) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι \displaystyle{f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x) < 0}

Έχουμε την συνάρτηση \displaystyle{F(x)=\int_{\alpha }^{x}[f(t)-g(t)]dt, \,\,x\in [\alpha ,\beta ]} από όπου παράγωγίζοντάς την έχουμε ότι

\displaystyle{F'(x)=f(x)-g(x)}

Θεωρούμε την συνάρτηση : \displaystyle{H(x) = F(x) - \int_{\alpha }^{x}\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx, \,\,\,x\in [\alpha ,\beta ]}, η οποία είναι συνεχής και

παραγωγίσιμη συνάρτηση. Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο, έχουμε ότι:

\displaystyle{H'(x) = F'(x) - (\int_{\alpha }^{x}\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx)' = F'(x)-\frac{3\varphi (x)+f(x)}{3}\Leftrightarrow }

\displaystyle{H'(x) = F'(x)-\frac{3\varphi (x)+f(x)}{3} = f(x)-g(x)-\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}= \frac{3f(x)-3g(x)-3\varphi (x)-f(x)}{3} = }

\displaystyle{=\frac{2f(x)-3g(x)-3\varphi (x)}{3}= \frac{2f(x)-3(g(x)-\varphi (x))}{3} < 0, \,\,}

αφού \displaystyle{f(x)\leq \varphi (x)\leq g(x)\Rightarrow g(x)\geq \varphi (x)\Leftrightarrow g(x)-\varphi (x)\geq 0} και επίσης \displaystyle{f(x) < 0 }

από προηγούμενο ερώτημα. Συνεπώς \displaystyle{H'(x) < 0\Rightarrow} H είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, οπότε

για \displaystyle{\alpha \leq \beta \Rightarrow H(\alpha) \geq H(\beta)}

\displaystyle{\Rightarrow F(\alpha) - \int_{\alpha }^{\alpha }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx \geq F(\beta) - \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx}

\displaystyle{\Leftrightarrow F(\beta) - \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx \leq 0\Leftrightarrow F(\beta)\leq \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx}

όπου και αποδείχθηκε το ζητούμενο.

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 16, 2013 9:52 am
από pastavr
Διακρίνουμε περιπτώσεις:

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) > 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) < 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq  0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}

Από τις σχέσεις (3), (4) έχουμε ότι \displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}








Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 16, 2013 10:30 am
από Christos75
pastavr έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις:

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) > 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) < 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq  0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}

Από τις σχέσεις (3), (4) έχουμε ότι \displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}








Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;
Εννοώ ότι με όποιο g(x)\neq 0 και αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση θα έχουμε μία εκ των δύο. Συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το "κοινό" τους σημείο θα είναι μόνο το 0.

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 16, 2013 6:50 pm
από pastavr
Christos75 έγραψε:
pastavr έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις:

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) > 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}

\bullet Εάν \displaystyle{g(x) < 0} τότε η (1) γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x) ) \displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq  0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}

Από τις σχέσεις (3), (4) έχουμε ότι \displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}








Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;
Εννοώ ότι με όποιο g(x)\neq 0 και αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση θα έχουμε μία εκ των δύο. Συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το "κοινό" τους σημείο θα είναι μόνο το 0.
Δεν ξέρω αν κάνω κάτι λάθος αλλά η διαφωνία μου είναι σε αυτό που λες κοινό σημείο . Οι δύο σχέσεις έχουν προέλθει από διαφορετική προυπόθεση ( η μία ότι \displaystyle{g\left( x \right) > 0} και ή άλλη ότι \displaystyle{g\left( x \right) < 0} )
Οπότε πως μπορούν να έχουν κοινό σημείο ;