θέμα με ολοκληρώματα

Giorgos S · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g

, οι οποίες είναι συνεχείς στο [a,b]

. Έστω $\Omega_{1}$ και $\Omega_{2}$ τα χωρία που σχηματίζουν με τον x'x

και τις ευθείες x=a,x=b

οι $C_{f}$ και $C_{g}$ αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει ότι: $E(\Omega_{1})=3E(\Omega_{2})$ .Επιπλέον ισχύει ότι: $f(x)+3g(x) \geq 0 , x \in [a,b]$ . Ορίζουμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)g(x),x \in [a,b]$ , για την οποία γνωρίζουμε ότι h(x)<0

, για κάθε $x \in [a,b]$ .

Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in [a,b]$ ισχύει: $3g^{2}(x)=-h(x)$ .

Ορίζουμε τη συνάρτηση: $F(x)=\int_{a}^{x}{[f(t)-g(t)]dt} , x \in [a,b]$ . Να αποδείξετε ότι η

δεν έχει ρίζα στο (a,b]

.

Θεωρούμε συνάρτηση $\phi$ , συνεχή, με $A_{\phi}= \mathbb R$ και $\phi (A) = [f(x) , g(x)]$ . Να αποδείξετε ότι:

η $\phi$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $A_{ \phi }$

ii.

$F(b) \leq \int_{a}^{b}{\frac{3\phi(x)+f(x)}{3}dx}$

Edit:προσθήκη της συνέχειας στο 3

BAGGP93 · #2

Λύση

$\displaystyle{1)}$ Υποθέτουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{y\in\left[a,b\right]}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(y)\,\, \kappa \alpha \iota\,\,g(y)<0}$

Τότε θα ισχύει και $\displaystyle{f(y)+3g(y)<0}$ , το οποίο αντίκειται στην υπόθεση $\displaystyle{f(x)+3\,g(x)\geq 0\,,x\in\left[a,b\right]}$

Επομένως, για κάθε $\displaystyle{x\in\left[a,b\right]}$ είναι $\displaystyle{f(x)\geq 0}$ ή $\displaystyle{g(x)\geq 0\,\,(I)}$

Δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα $\displaystyle{f(x)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,g(x)\geq 0}$ διότι τότε θα έχουμε

$\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:h(x)\geq 0}$ , άτοπο.

Επίσης, δεν μπορεί να ισχύει ότι $\displaystyle{f(x_0)=0}$ ή $\displaystyle{g(x_0)=0}$ για κάποιο $\displaystyle{x_0\in\left[a,b\right]}$ διότι θα είχαμε και

$\displaystyle{h(x_0)=0}$ , το οποίο είναι άτοπο.

Άρα, λαμβάνοντας υπ' όψιν και την συνέχεια των συναρτήσεων $\displaystyle{f,g}$ , έχουμε ότι αυτές διατηρούν σταθερό πρόσημο στο πεδίο ορισμού τους.

Επειδή λοιπόν $\displaystyle{h(x)=f(x)\,g(x)<0\,,x\in\left[a,b\right]}$ , θα ισχύει

$\displaystyle{\left[\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)>0\ \land g(x)<0\right]\ \lor\,\, \left[\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)<0\ \land g(x)>0\right]}$

Αν ισχύει η πρώτη περίπτωση , τότε,

$\displaystyle{E_1=3E_2\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-3\int_{a}^{b}g(x)\,dx\Rightarrow \int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}$

Αν ισχύει η δεύτερη περίπτωση , τότε,

$\displaystyle{E_1=3E_2\Rightarrow -\int_{a}^{b}f(x)\,dx=3\int_{a}^{b}g(x)\,dx\Rightarrow \int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}$

Συνεπώς, $\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(f(x)+3\,g(x)\right)\,dx=0}$

Όμως, η συνάρτηση $\displaystyle{f+3\,g}$ είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών και μη αρνητική, οπότε,

$\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)+3g(x)=0\Rightarrow \forall x\in\left[a,b\right]:f(x)=-3g(x)\Rightarrow \forall x\in\left[a,b\right]:h(x)=-3\,g^2(x)}$

$\displaystyle{2)}$ Η συνάρτηση $\displaystyle{h:\left[a,b\right]\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{h(t)=f(t)-g(t)}$

είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

Έτσι, η συνάρτηση $\displaystyle{F}$ είναι παραγωγίσιμη(άρα και συνεχής) στο $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ με παράγωγο

$\displaystyle{F^\prime(x)=f(x)-g(x)\,\,,x\in\left[a,b\right]}$

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{k\in\left(a,b\right]}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{F(k)=0}$

Η $\displaystyle{F}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος $\displaystyle{Rolle}$ στο $\displaystyle{\left[a,k\right]}$ και συνεπώς,

υπάρχει $\displaystyle{\xi\in\left(a,k\right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{F^\prime(\xi)=0\Leftrightarrow f(\xi)=g(\xi)}$ .

Τότε, $\displaystyle{f(\xi)+3\,g(\xi)=0\Rightarrow 4\,g(\xi)=0\Rightarrow g(\xi)=0\stackrel{1)}{\Rightarrow} h(\xi)=0}$ , άτοπο.

$\displaystyle{3i)}$ Αρχικά, επειδή, $\displaystyle{\varphi\left(A\right)=\left[f(x),g(x)\right]}$ , έχουμε ότι

$\displaystyle{\forall x\in\left[a,b\right]:f(x)<g(x)}$

Σύμφωνα με το $\displaystyle{1)}$ , έπεται ότι $\displaystyle{f(x)<0\,\,,g(x)>0\,\,,x\in\left[a,b\right]}$ , οπότε,

$\displaystyle{0\in\left[f(x),g(x)\right]\Rightarrow 0\in \varphi\left(A\right)\Rightarrow \exists\,\rho\in A\,:\varphi(\rho)=0}$ ,

γεγονός που αποδεικνύει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της συνάρτησης $\displaystyle{\varphi}$ .

$\displaystyle{3ii)}$ Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} F(b)\leq \int_{a}^{b}\frac{3\,\varphi(x)+f(x)}{3}\,dx&\Leftrightarrow 3\,F(b)\leq \int_{a}^{b}\left(3\,\varphi(x)+f(x)\right)\,dx\\&\Leftrightarrow 3\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx-3\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx\leq 3\,\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx+\int_{a}^{b}f(x)\,dx\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx\geq \int_{a}^{b}\left(2\,f(x)-3\,g(x)\right)\,dx\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left(\varphi(x)-2\,f(x)+3\,g(x)\right)\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\left(\varphi(x)-3\,f(x)\right)+\left(f(x)+3\,g(x)\right)\right]\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\varphi(x)-3\,f(x)\right]\,dx\geq 0\\&\Leftrightarrow \int_{a}^{b}\left[\left(\varphi(x)-f(x)\right)-2\,f(x)\right]\,dx\geq 0\end{aligned}}$

Η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι για κάθε $\displaystyle{x\in\left[a,b\right]}$ είναι,

$\displaystyle{\varphi(x)-f(x)\geq 0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,f(x)<0}}$

Θεώρησα ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi}$ είναι ολοκληρώσιμη.

Christos75 · #3

Να δώσω κι εγώ την δική μου προσέγγιση για την δοθείσα στα ερωτήματα 2) και 3).

2)
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=\int_{\alpha }^{x}[f(t)-g(t)]dt, \,\,x\in [\alpha ,\beta ]}$ η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta ]}$ ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

Θα χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπο απαγωγή. Έστω λοιπόν ότι η συνάρτηση

έχει ρίζα-έστω $x_{0}$ -τότε:

$\displaystyle{F(x_{0})=0, \, \,x_{0}\in (\alpha,\beta ]}$

$\bullet$ Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,x_{0}] }$

$\bullet$ Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,x_{0})}$ με $\displaystyle{x_{0}\in (\alpha ,\beta]}$

$\bullet$ ισχύει $\displaystyle{F(\alpha ) = F(x_{0}) (= 0)}$ αφού $\displaystyle{F(\alpha )=\int_{\alpha }^{\alpha } [f(t)-g(t)]dt = 0}$

Εφόσον ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle $\displaystyle{\exists \,\,\,\xi \in (\alpha ,x_{0}): F'(\xi) = 0}$

Αλλά $\displaystyle{F'(x) = f(x)-g(x)}$ οπότε

$\displaystyle{F'(\xi) = 0 \Leftrightarrow f(\xi) = g(\xi)\overset{\cdot g(\xi)\neq 0}{\rightarrow} f(\xi) \cdot g(\xi) = [g(\xi)]^{2}\Leftrightarrow h(\xi)= [g(\xi)]^{2} > 0}$

ΑΤΟΠΟ αφού εξ' υποθέσεως ισχύει ότι

$\displaystyle{h(x) < 0}$ Άρα δεν υπάρχει ρίζα της

στο διάστημα $\displaystyle{(\alpha ,\beta ]}$

3) i) Είναι $\displaystyle{A_{\varphi } = \mathbb{R}\,\,\,\, \wedge\,\,\, \varphi (A)=[f(x),g(x)]}$

Από το πεδίο τιμών συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{f(x) < g(x)\,\, (5)}$ επίσης εφόσον η συνάρτηση

είναι αρνητική τότε έχουμε ότι:

$\displaystyle{f(x) < 0\,\,\wedge \,\, g(x) > 0}$ συνεπώς $\displaystyle{0\in \varphi (A)}$ που σημαίνει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης

$\displaystyle{\varphi}$

ii) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι $\displaystyle{f(x) < g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x) < 0}$

Έχουμε την συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=\int_{\alpha }^{x}[f(t)-g(t)]dt, \,\,x\in [\alpha ,\beta ]}$ από όπου παράγωγίζοντάς την έχουμε ότι

$\displaystyle{F'(x)=f(x)-g(x)}$

Θεωρούμε την συνάρτηση : $\displaystyle{H(x) = F(x) - \int_{\alpha }^{x}\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx, \,\,\,x\in [\alpha ,\beta ]}$ , η οποία είναι συνεχής και

παραγωγίσιμη συνάρτηση. Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο, έχουμε ότι:

$\displaystyle{H'(x) = F'(x) - (\int_{\alpha }^{x}\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx)' = F'(x)-\frac{3\varphi (x)+f(x)}{3}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{H'(x) = F'(x)-\frac{3\varphi (x)+f(x)}{3} = f(x)-g(x)-\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}= \frac{3f(x)-3g(x)-3\varphi (x)-f(x)}{3} = }$

$\displaystyle{=\frac{2f(x)-3g(x)-3\varphi (x)}{3}= \frac{2f(x)-3(g(x)-\varphi (x))}{3} < 0, \,\,}$

αφού $\displaystyle{f(x)\leq \varphi (x)\leq g(x)\Rightarrow g(x)\geq \varphi (x)\Leftrightarrow g(x)-\varphi (x)\geq 0}$ και επίσης $\displaystyle{f(x) < 0 }$

από προηγούμενο ερώτημα. Συνεπώς $\displaystyle{H'(x) < 0\Rightarrow}$

είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, οπότε

για $\displaystyle{\alpha \leq \beta \Rightarrow H(\alpha) \geq H(\beta)}$

$\displaystyle{\Rightarrow F(\alpha) - \int_{\alpha }^{\alpha }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx \geq F(\beta) - \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow F(\beta) - \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx \leq 0\Leftrightarrow F(\beta)\leq \int_{\alpha }^{\beta }\frac{(3\varphi (x)+f(x))}{3}dx}$

όπου και αποδείχθηκε το ζητούμενο.

pastavr · #4

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

$\bullet$ Εάν $\displaystyle{g(x) > 0}$ τότε η (1)

γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x)

) $\displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}$

$\bullet$ Εάν $\displaystyle{g(x) < 0}$ τότε η (1)

γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με g(x)

) $\displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}$

Από τις σχέσεις (3), (4)

έχουμε ότι $\displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}$

Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;

Christos75 · #5

pastavr έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις:

$\bullet$ Εάν $\displaystyle{g(x) > 0}$ τότε η γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με ) $\displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}$

$\bullet$ Εάν $\displaystyle{g(x) < 0}$ τότε η γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με ) $\displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}$

Από τις σχέσεις έχουμε ότι $\displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}$

Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;

Εννοώ ότι με όποιο $g(x)\neq 0$ και αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση θα έχουμε μία εκ των δύο. Συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το "κοινό" τους σημείο θα είναι μόνο το

.

pastavr · #6

Christos75 έγραψε:
pastavr έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις:

$\bullet$ Εάν $\displaystyle{g(x) > 0}$ τότε η γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με ) $\displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \geq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\geq 0 (3)}$

$\bullet$ Εάν $\displaystyle{g(x) < 0}$ τότε η γίνεται :

(πολλαπλασιάζουμε με ) $\displaystyle{f(x)\cdot g(x)+3[g(x)]^{2} \leq 0 \Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^{2}\leq 0 \ (4)}$

Από τις σχέσεις έχουμε ότι $\displaystyle{0 \leq h(x)+3[g(x)]^2 \leq 0\Leftrightarrow h(x)+3[g(x)]^2 = 0\Leftrightarrow 3[g(x)]^2 = -h(x)}$

Mα γίνεται οι σχέσεις (3) και (4) να ισχύουν ταυτόχρονα ;
Εννοώ ότι με όποιο $g(x)\neq 0$ και αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση θα έχουμε μία εκ των δύο. Συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το "κοινό" τους σημείο θα είναι μόνο το .

Δεν ξέρω αν κάνω κάτι λάθος αλλά η διαφωνία μου είναι σε αυτό που λες κοινό σημείο . Οι δύο σχέσεις έχουν προέλθει από διαφορετική προυπόθεση ( η μία ότι $\displaystyle{g\left( x \right) > 0}$ και ή άλλη ότι $\displaystyle{g\left( x \right) < 0}$ )
Οπότε πως μπορούν να έχουν κοινό σημείο ;

θέμα με ολοκληρώματα

θέμα με ολοκληρώματα

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Re: θέμα με ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση