Θέμα Γ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τρί Ιούλ 16, 2013 6:55 pm

Δίνεται συνάρτηση f:(0,+\propto )\rightarrow R για την οποία ισχύουν: f(x)-f(\psi)=f(\frac{x}{\psi }) για κάθε x,\psi >0
και f(x)\neq 0 για κάθε x\in (0,1)\cup(1,+\propto).

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

β) Αν z\in C-\left\{1,-\frac{1}{2} \right\} και \frac{f(\left|2z+1 \right|^2)}{2}=f(\left|z-1 \right|) , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

γ) Αν w=2z+5+3i, όπου z ο μιγαδικός του προηγούμενου ερωτήματος, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w,
καθώς επίσης το \left|w-z \right|_{min} και το \left|w-z \right|_{max}

δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g:(\frac{M}{4},\frac{m}{2})\rightarrow R με g(x)=e^{x^2-\frac{M}{2}x+\frac{m}{2}} όπου m=\left|w-z \right|_{min} και M=\left|w-z \right|_{max} του ερωτήματος γ).
Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

Edit:Τυπογραφικές αλλαγές στο Latex
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Τρί Ιούλ 16, 2013 9:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:07 pm

i)Θεωρώ x_1 , x_2 \in (0, +\infty ) . Έστω λοιπόν f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)- f(x_2)=f(\frac{x_1}{x_2} ) (από τη δοσμένη σχέση). Παρατηρούμε επίσης ότι η δοσμένη για x=1 δίνει f(1)-f(1)=f(1)\Leftrightarrow f(1)=0. Επίσης είναι f(x)\neq 0 \forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty ). Υποθέτω ότι η f συνεχής (αν δεν είναι δεν μπορώ να το βγάλω) άρα διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (0, 1) , (1, +\infty ) οπότε μηδενίζεται μόνο στο x_0 =1 άρα έχω τελικά x_1 =x_2 που αποδεικνύει ότι η f είναι τελικά "1-1"
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Ιούλ 16, 2013 7:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:17 pm

ii) Είναι f(\left | 2z+1 \right |^2)= 2f\left ( \left | z-1 \right | \right )\Leftrightarrow 
f(\left | 2z+1 \right |^2) - f\left ( \left | z-1 \right | \right) = f\left ( \left | z-1 \right | \right
\Leftrightarrow f(\frac{\left | 2z+1 \right |^2}{\left | z-1 \right | \right}) =f (\left | z-1 \right | \right)\Leftrightarrow \left | 2z+1 \right |^2= \left | z-1 \right |^2 από όπου τελικά προκύπτει ότι οι εικόνες του z κινούνται σε κύκλο με εξίσωση x^2 +y^2 +2x=0


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:25 pm

iii) Ο προηγούμενος κύκλος έχει κέντρο Κ(-1, 0) και ακτίνα ρ=1.. Ζητάμε τη μέγιστη και την ελάχιστη της \left | z-w \right |= \left | z-(-5-3i) \right |. Δηλαδή ζητάμε το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού z από το σημείο A=(-5, -3).

Είναι KA=5 άρα η μέγιστη απόσταση είναι max\left \{ \left | z-w \right | \right \}=KA+\rho =5+1=6 , ενώ η ελάχιστη είναι min\left \{ \left | z-w \right | \right \}=KA-\rho =4.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
pastavr
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από pastavr » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:32 pm

για το τρίτο ερώτημα
\displaystyle{\left| {w - z} \right| = \left| {2z + 5 + 3i - z} \right| = \left| {z + 5 + 3i} \right|} που είναι η απόσταση της εικόνας Μ(\displaystyle{z}) από το σημείο Α (-5,-3) . Εύκολα με ένα σχήμα βλέπουμε ότι m = 4 και Μ = 6

για το τέταρτο ερώτημα έχουμε τη συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right) = {e^{{x^2} - 3x + 4}}{\rm{  }}} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\left( {\frac{3}{2},2} \right)}
Είναι \displaystyle{g'(x) = {e^{{x^2} - 3x + 4}}\left( {2x - 3} \right) < 0} για κάθε x του πεδίου ορισμού . Άρα η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη


Παύλος Σταυρόπουλος
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:33 pm

Tolaso J Kos έγραψε:i)Θεωρώ x_1 , x_2 \in (0, +\infty )/ x_1 <x_2 . Έστω λοιπόν f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)- f(x_2)=f(\frac{x_1}{x_2} ) (από τη δοσμένη σχέση). Παρατηρούμε επίσης ότι η δοσμένη για x=1 δίνει f(1)-f(1)=f(1)\Leftrightarrow f(1)=0. Επίσης είναι f(x)\neq 0 \forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty ). Υποθέτω ότι η f συνεχής (αν δεν είναι δεν μπορώ να το βγάλω) άρα διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (0, 1) , (1, +\infty ) οπότε μηδενίζεται μόνο στο x_0 =1 άρα έχω τελικά x_1 =x_2 που αποδεικνύει ότι η f είναι τελικά "1-1"


Καλησπέρα και ευχαριστώ για την ενασχόληση. Θεωρώ πως η συνέχεια δεν είναι απαραίτητη, διότι η μοναδικότητα της ρίζας x=1 καλύπτεται, αφού
f(x)\neq 0 \forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty )


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:34 pm

Για την εύρεση της αντίστροφης εγώ κόλλησα;; Δεν μπορώ να λύσω ως προς x και δε μπορώ να φτιάξω και κάποια ταυτότητα! Καμιά ιδέα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 16, 2013 7:39 pm

thanasis kopadis έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:i)Θεωρώ x_1 , x_2 \in (0, +\infty )/ x_1 <x_2 . Έστω λοιπόν f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)- f(x_2)=f(\frac{x_1}{x_2} ) (από τη δοσμένη σχέση). Παρατηρούμε επίσης ότι η δοσμένη για x=1 δίνει f(1)-f(1)=f(1)\Leftrightarrow f(1)=0. Επίσης είναι f(x)\neq 0 \forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty ). Υποθέτω ότι η f συνεχής (αν δεν είναι δεν μπορώ να το βγάλω) άρα διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (0, 1) , (1, +\infty ) οπότε μηδενίζεται μόνο στο x_0 =1 άρα έχω τελικά x_1 =x_2 που αποδεικνύει ότι η f είναι τελικά "1-1"


Καλησπέρα και ευχαριστώ για την ενασχόληση. Θεωρώ πως η συνέχεια δεν είναι απαραίτητη, διότι η μοναδικότητα της ρίζας x=1 καλύπτεται, αφού
f(x)\neq 0 \forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty )


Απλώς το λέω γιατί στο σχολικό (εφόσον η άσκηση είναι στην ύλη της Γ) αναφέρει ότι για να διατηρεί μια συνάρτηση f σταθερό πρόσημο σε ένα διάστημα Δ πρέπει
1. f(x)\neq 0 για κάθε x που ανήκει στο Δ.
2. και η f να είναι συνεχής.

Για το σύνολο αυτό δεν μπορεί να ισχύει.. Ναι μεν είναι διάφορη του μηδενός, όμως μπορεί να παρουσιάζει κάποια ασυνέχεια και κατά συνέπεια να μην είναι "1-1". Ας απαντήσει όμως κάποιος πιο έμπειρος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 16, 2013 8:00 pm

Το λέω αυτό γιατί αν θεωρήσω τη συνάρτηση:
f(x)=\begin{cases}
x-1 &  x\in(-1, 1]   \\ 
2x-3 &  x\in (1, 4]  \\ 
-\frac{x}{5} &  x\in (4, 5]  
\end{cases}
έχει μοναδική ρίζα , τη x_0 =1 , διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα ανοιχτά διαστήματα . Παρόλα αυτά η f δεν είναι "1-1" πολύ απλά διότι f((-1, 1])\cap f((4, 5])\neq \varnothing. Για αυτό ανέφερα και τη συνέχεια για να εξασφαλίσω και την "1-1''


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Christos75 » Τρί Ιούλ 16, 2013 8:06 pm

Σε ό,τι αφορά την απόδειξη του ότι η f είναι "1-1" δεν χρειάζεται η συνέχεια της συναρτήσεως, διότι:

Έστω x_{1},x_{2} > 0 με -ας πούμε-0 < x_{1} < x_{2} τότε αντικαθιστώντας στην δοσμένη συναρτησιακή σχέση, έχουμε ότι

f(x_{1})-f(x_{2}) = f(\frac{x_{1}}{x_{2}})\neq 0 που σημαίνει ότι

f(\frac{x_{1}}{x_{2}}) > 0\,\,\,  \vee \,\,\, f(\frac{x_{1}}{x_{2}}) < 0 \,\,\, \forall x_{1},x_{2}\in (0,1)\cup (1,+\infty )

Συνεπώς η f γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, δηλαδή γνησίως μονότονη. Συνεπως και "1-1"

Στην περίπτωση που x_{1}=x_{2} τότε f(1)=0 Συνεπώς είναι "1-1" στο ζητούμενο διάστημα.


Χρήστος Λοΐζος
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από dennys » Τρί Ιούλ 16, 2013 10:57 pm

Τελευταίο ερώτημα

Η συνάρτηση g(x)=e^{x^{2}-3x+2}=e^{(x-3/2)^{2}-1/4}>0\Rightarrow lny=(x-3/2)^{2}-1/4<0\Rightarrow

y \in(0,1)και επειδή g{'}(x)>0, g \nearrow, g "1-1", και

ακόμη lny+1/4=(x-3/2)^{2}>0\Rightarrow y>e^{-1/4} και λύνοντας ως πρός

x\Rightarrow x-3/2=\sqrt{lny+1/4}\Rightarrow g^{-1}(x)=\sqrt{lnx+1/4}+3/2 ,\,\   D_{g^{-1}(x)}=(e^{-1/4},1)


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Christos75 » Τρί Ιούλ 16, 2013 11:46 pm

thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται συνάρτηση f:(0,+\propto )\rightarrow R για την οποία ισχύουν: f(x)-f(\psi)=f(\frac{x}{\psi }) για κάθε x,\psi >0
και f(x)\neq 0 για κάθε x\in (0,1)\cup(1,+\propto).

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

β) Αν z\in C-\left\{1,-\frac{1}{2} \right\} και \frac{f(\left|2z+1 \right|^2)}{2}=f(\left|z-1 \right|) , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

γ) Αν w=2z+5+3i, όπου z ο μιγαδικός του προηγούμενου ερωτήματος, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w,
καθώς επίσης το \left|w-z \right|_{min} και το \left|w-z \right|_{max}

δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g:(\frac{M}{4},\frac{m}{2})\rightarrow R με g(x)=e^{x^2-\frac{M}{2}x+\frac{m}{2}} όπου m=\left|w-z \right|_{min} και M=\left|w-z \right|_{max} του ερωτήματος γ).
Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

Edit:Τυπογραφικές αλλαγές στο Latex



α) Έχει δειχθεί πιο πάνω και από άλλους συνφορουμίτες.

β) Έχουμε ότι \displaystyle{z\in \mathbb{C}-\left \{ 1,-\frac{1}{2} \right\left.  \right \}} και επίσης

\displaystyle{\frac{f(\mid 2z+1 \mid^2)}{2}=f(\mid z-1 \mid)\Leftrightarrow f(\mid 2z+1 \mid^2)= 2 \cdot f(\mid z-1 \mid)\Leftrightarrow}

\displaystyle{f(\mid 2z+1 \mid^2)- f(\mid z-1 \mid) = f(\mid z-1 \mid) \Leftrightarrow f(\frac{\mid 2z+1 \mid^2}{\mid z - 1 \mid}) = f(\mid z-1 \mid)\overset{a), f"1-1"}{\rightarrow}}

\displaystyle{\frac{\mid 2z+1 \mid^2}{\mid z - 1 \mid} = \mid z-1 \mid\Rightarrow \mid 2z+1 \mid^2 = \mid z-1 \mid^2 \Leftrightarrow}

\displaystyle{(2z+1) \cdot (2\bar{z}+1) = (z-1) \cdot (\bar{z}-1)\Leftrightarrow 3 \mid z \mid^2 + 3(z+\bar{z}) = 0\Leftrightarrow  \mid z \mid^2 +(z+\bar{z}) = 0}

Έστω επίσης ότι \displaystyle{z = x+yi, \,\, x,y\in \mathbb{R} \,\,\wedge \,\, \mid z \mid^2=x^{2}+y^{2},  \,\,\, \bar{z} = x-yi }

Οπότε η σχέση που καταλήξαμε, παίρνει την μορφή: \displaystyle{x^{2}+y^{2}+2x = 0\Leftrightarrow x^{2}+2x+1-1+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+1)^{2}+y^{2}=1}

Συνεπώς, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνα \displaystyle{K(-1,0)\,\, \wedge \,\,\rho = 1}

γ) Μας ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού :

\displaystyle{w=2z+5+3i\Leftrightarrow w=2z+2+3+3i\Leftrightarrow w-3-3i=2z+2\Leftrightarrow w-3-3i=2(z+1)\Rightarrow \mid w-3-3i \mid = \mid 2(z+1) \mid\Rightarrow}

\displaystyle{\mid w-3-3i \mid = 2\mid (z+1) \mid\overset{\beta )}{\rightarrow} \mid w-3-3i \mid = 2 \cdot 1\Rightarrow \mid w-3-3i \mid =2\Rightarrow \mid w-(3+3i) \mid = 2}

Συνεπώς, ο w κινείται σε κύκλο με κέντρο \displaystyle{K(3,3) \,\, \wedge \,\,\rho = 2 }

Εδώ θα βρούμε μέγιστη και ελάχιστη τιμή της διαφοράς των δύο μιγαδικών χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα.

Γνωρίζουμε από θεωρία ότι \displaystyle{\mid \mid z_{1} \mid - \mid z_{2} \mid \mid \leq \mid z_{1}-z_{2} \mid \leq \mid z_{1} \mid + \mid z_{2} \mid \,\,(2)}

Είναι \displaystyle{\mid w-z \mid = \mid z+5+3i \mid = \mid z+1+4+3i \mid} που αντικαθιστώ στην (2) για \displaystyle{w=z+1 \,\, \wedge \,\,z=4+3i } δηλαδή

\displaystyle{\mid 1-5 \mid \leq \mid w-z \mid \leq 1+5\Leftrightarrow }

\displaystyle{4 \leq \mid w-z \mid \leq 6\Rightarrow \mid w-z \mid_{min}=4, \mid w-z \mid_{max}= 6}

δ) Είναι \displaystyle{g: (\frac{M}{4},\frac{m}{2})\rightarrow \mathbb{R}} με \displaystyle{g(x)=e^{x^{2}-\frac{M}{2}x+\frac{m}{2}}}

Είναι \displaystyle{m=\mid w-z \mid_{min} = 4\,\, \wedge \,\, M=\mid w-z \mid_{max} = 6}

Άρα \displaystyle{g:(\frac{3}{2},2)\rightarrow \mathbb{R}} με \displaystyle{g(x)=e^{x^{2}-3x+2}} και εν συνεχεία βρίσκουμε την

παράγωγο της συνάρτησης αυτής

\displaystyle{g'(x)=(e^{x^{2}-3x+2})'=(2x-3) \cdot e^{x^{2}-3x+2} > 0} αφού

\displaystyle{e^{x^{2}-3x+2} > 0 \,\,\,\forall x\in (\frac{3}{2},2)\,\,\,\wedge \,\,\,\frac{3}{2}<x<2\Leftrightarrow 3 < 2x < 4 \Leftrightarrow 0 < 2x-3 < 1\Rightarrow 2x-3 > 0}

Οπότε \displaystyle{g'(x) > 0\Rightarrow g}γνησίως αύξουσα \Rightarrow g είναι "1-1" συνεπώς η g αντιστρέφεται.

Αναζητούμε την αντίστροφη τώρα, θα την υπολογίσουμε ως εξής:

\displaystyle{y=g(x)\Leftrightarrow y=e^{x^{2}-3x+2} > 0\Rightarrow y > 0\,\,(1)}

Δηλαδή \displaystyle{lny=x^{2}-3x+2} και αφού \displaystyle{\frac{3}{2} < x <2\Rightarrow x^{2}-3x+2 < 0\Rightarrow lny < 0 \Leftrightarrow y < 1 (2)} αφού η

ln είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Για να έχει η \displaystyle{lny=x^{2}-3x+2\Leftrightarrow x^{2}-3x+(2-lny)=0} πραγματικές ρίζες πρέπει :

\displaystyle{\Delta > 0 \Leftrightarrow 9-4 \cdot 1 \cdot(2-lny) > 0\Leftrightarrow y > e^{-\frac{1}{4}}\Leftrightarrow y > \frac{1}{\sqrt[4]{e}}}

Κατά συνέπεια, \displaystyle{x_{1,2}= \frac{3+-\sqrt{1+4lny}}{2}} από τις δύο ρίζες που προκύπτουν η

\displaystyle{x = \frac{3-\sqrt{1+4lny}}{2}} απορρίπτεται αφού \displaystyle{x-\frac{3}{2} > 0}

Άρα τελικά έχουμε: \displaystyle{x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{1+4lny}}{2}} που σημαίνει ότι

\displaystyle{g^{-1}(x)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{1+4lnx}}{2}, \,\,x\in (\frac{1}{\sqrt[4]{e}}, 1)}


Χρήστος Λοΐζος
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από dennys » Τετ Ιούλ 17, 2013 7:32 am

Ο τρόπος που βρίσκεις τα ακρ'ότατα είναι λάθος Christos75, γιατί οι μιγαδικοί

είναι δεμένοι με σχέση .Αρα ούτε η τριγωνική ανισότητα ούτε το σχήμα "λέν αλήθεια "

Φιλικά

Βουτσάς Διονύσης


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Christos75 » Τετ Ιούλ 17, 2013 8:49 am

dennys έγραψε:Ο τρόπος που βρίσκεις τα ακρ'ότατα είναι λάθος Christos75, γιατί οι μιγαδικοί

είναι δεμένοι με σχέση .Αρα ούτε η τριγωνική ανισότητα ούτε το σχήμα "λέν αλήθεια "

Φιλικά

Βουτσάς Διονύσης


Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς εννοείς Διονύση. Ποιο είναι το πρόβλημα στην λύση που έχω παρουσιάσει ; Γιατί η τριγωνική ανισότητα δεν σε βοηθάει στην περίπτωσή μας; Οι μιγαδικοί είναι όντως δεμένοι με σχέση την οποία και χρησιμοποιώ. Αν μου έχει ξεφύγει κάτι πολύ ευχαρίστως να το δούμε, εξάλλου ανέβασα την άσκηση αρκετά αργά οπότε...όλα είναι πιθανά. Που έχω κάνει το λάθος κατά τη γνώμη σου σε ό,τι έχει να κάνει με τον τρόπο πάντα διότι στα νούμερα δεν νομίζω ότι διαφωνούμε...(;)

Χρήστος


Χρήστος Λοΐζος
pastavr
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από pastavr » Τετ Ιούλ 17, 2013 9:51 am

Christos75 έγραψε:
dennys έγραψε:Ο τρόπος που βρίσκεις τα ακρ'ότατα είναι λάθος Christos75, γιατί οι μιγαδικοί

είναι δεμένοι με σχέση .Αρα ούτε η τριγωνική ανισότητα ούτε το σχήμα "λέν αλήθεια "

Φιλικά

Βουτσάς Διονύσης


Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς εννοείς Διονύση. Ποιο είναι το πρόβλημα στην λύση που έχω παρουσιάσει ; Γιατί η τριγωνική ανισότητα δεν σε βοηθάει στην περίπτωσή μας; Οι μιγαδικοί είναι όντως δεμένοι με σχέση την οποία και χρησιμοποιώ. Αν μου έχει ξεφύγει κάτι πολύ ευχαρίστως να το δούμε, εξάλλου ανέβασα την άσκηση αρκετά αργά οπότε...όλα είναι πιθανά. Που έχω κάνει το λάθος κατά τη γνώμη σου σε ό,τι έχει να κάνει με τον τρόπο πάντα διότι στα νούμερα δεν νομίζω ότι διαφωνούμε...(;)

Χρήστος


Απλώς Χρήστο με την τριγωνική ανισότητα δεν είμαστε σίγουροι αν μπορεί το μέτρο να "πιάσει " τις ακραίες τιμές


Παύλος Σταυρόπουλος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Christos75 » Τετ Ιούλ 17, 2013 10:30 am

pastavr έγραψε:
Christos75 έγραψε:
dennys έγραψε:Ο τρόπος που βρίσκεις τα ακρ'ότατα είναι λάθος Christos75, γιατί οι μιγαδικοί

είναι δεμένοι με σχέση .Αρα ούτε η τριγωνική ανισότητα ούτε το σχήμα "λέν αλήθεια "

Φιλικά

Βουτσάς Διονύσης


Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς εννοείς Διονύση. Ποιο είναι το πρόβλημα στην λύση που έχω παρουσιάσει ; Γιατί η τριγωνική ανισότητα δεν σε βοηθάει στην περίπτωσή μας; Οι μιγαδικοί είναι όντως δεμένοι με σχέση την οποία και χρησιμοποιώ. Αν μου έχει ξεφύγει κάτι πολύ ευχαρίστως να το δούμε, εξάλλου ανέβασα την άσκηση αρκετά αργά οπότε...όλα είναι πιθανά. Που έχω κάνει το λάθος κατά τη γνώμη σου σε ό,τι έχει να κάνει με τον τρόπο πάντα διότι στα νούμερα δεν νομίζω ότι διαφωνούμε...(;)

Χρήστος


Απλώς Χρήστο με την τριγωνική ανισότητα δεν είμαστε σίγουροι αν μπορεί το μέτρο να "πιάσει " τις ακραίες τιμές


Καλημέρα αγαπητέ Παύλο, γενικά μπορεί, στην εν λόγω που βρίσκεται το σφάλμα ; ; ; Να το διορθώσω στο κάτω-κάτω της γραφής, με εξαίρεση δύο συμβολισμούς λόγω γραφής αργά τη νύχτα. Στην ουσία της επίλυσης, που είναι το σφάλμα της συγκεκριμένης ;


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Christos75 » Τετ Ιούλ 17, 2013 12:14 pm

pastavr έγραψε:
Christos75 έγραψε:
Απλώς Χρήστο με την τριγωνική ανισότητα δεν είμαστε σίγουροι αν μπορεί το μέτρο να "πιάσει " τις ακραίες τιμές


Να το τεκμηριώσουμε λοιπόν ότι τα αποτελέσματα της εν λόγω τριγωνικής ανισότητας είναι τα αληθή!

Μας έχει δώσει η "αμαρτωλή" αυτή ανισότητα-δεν αμφισβητώ επουδενί ότι δεν είναι αληθής πάντα-λοιπόν ότι \displaystyle{\mid w-z \mid_{max}=6}

Επίσης ισχύει ότι \displaystyle{\mid z+1 \mid=1} από το προηγούμενο ερώτημα μιας και ο μιγαδικός αυτός κινείται σε κύκλο όπως έχουμε δείξει.

Η ζητούμενη σχέση μετασχηματιζεται ως εξής αξιοποιώντας ταυτόχρονα τη σχέση που τις διέπει και έχουμε:

\displaystyle{w=2z+5+3i\Leftrightarrow w-z = z+5+3i\Rightarrow \mid z-w \mid = \mid z+5+3i \mid \Leftrightarrow \mid z-(-5-3i) \mid = 6 \Rightarrow (x+5)^{2}+(y+3)^{2}=36 \,\,(1)}

Επίσης \displaystyle{\mid z+1 \mid =1\Rightarrow (x+1)^{2}+y^{2}=1 \,\,\, (2)}

Λύνοντας το σύστημα των σχέσεων (1), (2) παίρνουμε ότι \displaystyle{x=-\frac{1}{5}  \,\,\, \wedge\,\,\, y=\frac{3}{5}}

Συνεπώς ο μιγαδικός για τον οποίο επιτυγχάνεται το μέγιστο μέτρο υπάρχει και είναι ο \displaystyle{z=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i}

Πράγματι, επαληθεύοντας έχουμε ότι

\displaystyle{\mid -\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+5+3i \mid= \mid \frac{24}{5}+\frac{18}{5}i \mid = \sqrt{(\frac{24}{5})^{2}+(\frac{18}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{576+324}{25}}=}

\displaystyle{\sqrt{\frac{900}{25}}=\frac{30}{5}=6 }

Ομοίως και για την ελάχιστη τιμή.


Χρήστος Λοΐζος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5699
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από socrates » Τετ Ιούλ 17, 2013 5:25 pm

dennys έγραψε:Ο τρόπος που βρίσκεις τα ακρ'ότατα είναι λάθος Christos75, γιατί οι μιγαδικοί

είναι δεμένοι με σχέση .Αρα ούτε η τριγωνική ανισότητα ούτε το σχήμα "λέν αλήθεια "

Φιλικά

Βουτσάς Διονύσης



Δε νομίζω ότι υπάρχει λάθος... Το μέτρο \displaystyle{|w-z|} είναι συνάρτηση μόνο του z...


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Christos75 » Τετ Ιούλ 17, 2013 7:03 pm

socrates έγραψε:
dennys έγραψε:Ο τρόπος που βρίσκεις τα ακρ'ότατα είναι λάθος Christos75, γιατί οι μιγαδικοί

είναι δεμένοι με σχέση .Αρα ούτε η τριγωνική ανισότητα ούτε το σχήμα "λέν αλήθεια "

Φιλικά

Βουτσάς Διονύσης



Δε νομίζω ότι υπάρχει λάθος... Το μέτρο \displaystyle{|w-z|} είναι συνάρτηση μόνο του z...


Προφανώς και δεν υπάρχει αγαπητέ Σωκράτη. Καλό είναι όταν γινόμαστε επικριτικοί,να είμαστε-αν μη τι άλλο-ακριβείς στα γραφόμενά-λεγόμενά μας...


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Γ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από thanasis kopadis » Τετ Ιούλ 17, 2013 7:25 pm

Συνάδελφοι, ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις και ιδιαίτερα για την πολύ χρήσιμη κουβέντα που αναπτύχθηκε για τα μέγιστα και τα ελάχιστα μέτρα μιγαδικών που συνδέονται, θέμα που μπερδεύει συχνά τους μαθητές μας.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες