Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Ιούλ 17, 2013 7:48 pm

Δίνεται μιγαδικός αριθμός z\in C^* και η συνεχής και περιττή συνάρτηση f:R\rightarrow R για την οποία ισχύει:
x^3+3\int_{-x}^{x}{\left|z \right|uf(u)du}=3\left|z \right|x^2f(x) για κάθε x\in R

α) Να βρείτε τον τύπο της f

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση z^2=-f(1000) έχει δύο ρίζες z_1,z_2 τις οποίες και να βρείτε.

γ) Θεωρούμε επιπλέον τη συνεχή συνάρτηση g:\left[\left|z_1 \right| \right,2\left|z_2 \right|]\rightarrow R, όπου z_1,z_2 οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος β). Nα αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων A,B της γραφικής παράστασης της g υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο C αυτής, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ABC να είναι ισοσκελές με βάση την AB

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται στον μοναδιαίο κύκλο, να βρείτε το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\int_{1}^{x}{\frac{lnt}{f^2(t)}dt}}

Edit:Ξαναλύνοντας το ερώτημα γ) διαπίστωσα ότι τα δεδομένα που έδινα δεν ήταν απαραίτητα για τη λύση του. Οπότε και τα διέγραψα. :roll:
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Πέμ Ιούλ 18, 2013 8:04 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Christos75 » Τετ Ιούλ 17, 2013 11:12 pm

thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός z\in C^* και η συνεχής και περιττή συνάρτηση f:R\rightarrow R για την οποία ισχύει:
x^3+3\int_{-x}^{x}{\left|z \right|uf(u)du}=3\left|z \right|x^2f(x) για κάθε x\in R

α) Να βρείτε τον τύπο της f

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση z^2=-f(1000) έχει δύο ρίζες z_1,z_2 τις οποίες και να βρείτε.


Για να δούμε σχετικά γρήγορα τα δύο πρώτα ερωτήματα.

Λύση

α)Μας δίνεται η σχέση \displaystyle{x^{3}+3\int_{-x}^{x}\mid z \mid \cdot u \cdot f(u)du =3\mid z \mid \cdot x^{2}\cdot f(x), \,\,\,\forall x\in \mathbb{R} (1)} και επίσης ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι συνεχής και περιττή. Αφού περιττή τότε \displaystyle{f(-x) =-f(x)\,\,\,(2)}

Αν \displaystyle{x=0} τότε από (2) έχουμε ότι \displaystyle{f(0) =-f(0)\Leftrightarrow 2f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0\,\, (3)}

Αν \displaystyle{x>0} (με όμοιο τρόπο προκύπτει και για \displaystyle{x<0})

Τότε θα έχουμε από την (1)

\displaystyle{x^{3}+3\mid z \mid \int_{-x}^{x}uf(u)du = 3 \mid z \mid x^{2}f(x)\Rightarrow}

\displaystyle{x^{3}+3\mid z \mid (\int_{-x}^{0}uf(u)du+\int_{0}^{x}uf(u)du)=3 \mid z \mid x^{2}f(x)\,\,\,(4)}

παραγωγίζοντας την σχέση (4) και αξιοποιώντας την σχέση (2) θα έχουμε :

\displaystyle{3x^{2}+3 \mid z \mid ((-x)f(-x)(-x)'+xf(x))=3\mid z \mid (x^{2}f(x))'\Rightarrow  3x^{2}+3 \mid z \mid(xf(-x)+xf(x))=3\mid z \mid (x^{2}f(x))'\overset{(2)}{\rightarrow}}

\displaystyle{x^{2}+\mid z \mid (-xf(x)+xf(x))=\mid z \mid (x^{2}f(x))'\Rightarrow x^{2}= \mid z \mid (x^{2}f(x))'\Rightarrow}

\displaystyle{(\mid z \mid x^{2}f(x))'=(\frac{x^{3}}{3})'\Rightarrow \mid z \mid x^{2}f(x)=\frac{x^{3}}{3}+c,\,\ c\in \mathbb{R}}

Από (3) έχω ότι \displaystyle{f(0)=0} και παίρνοντας όρια στην παραπάνω (αφού f συνεχής) έχω ότι

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(\mid z \mid x^{2}f(x))=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(\frac{x^{3}}{3}+c)\Rightarrow 0 \cdot 0 = 0 +c\Rightarrow c = 0}

Τα ίδια θα συμβούν αν πάρουμε \displaystyle{x<0} Οπότε τελικά η συνάρτηση που προκύπτει είναι: \displaystyle{f(x)=\frac{x}{\mid z \mid},} αφού

εξ'υποθέσεως \displaystyle{z\in \mathbb{C^*} } και κατά συνέπεια \displaystyle{\mid z \mid \neq 0} Δηλαδή τελικά:

\displaystyle{f(x)=\frac{x}{\mid z \mid},\,\, x\in \mathbb{R}}

β) Μας ζητείται να βρούμε της λύσεις της εξίσωσης και έχουμε:

\displaystyle{z^{2}=-f(1000)\Rightarrow z^{2}=-\frac{1000}{\mid z \mid}\Rightarrow z^{2}=\frac{1000}{\mid z \mid}i^{2}\Rightarrow}

\displaystyle{z_{1}=\frac{10\sqrt{10}}{\sqrt{\mid z \mid}}i \,\,\, \vee \,\,\,\, z_{2}=-\frac{10\sqrt{10}}{\sqrt{\mid z \mid}}i}

μένει μόνο να υπολογίσουμε το μέτρο του μιγαδικού z. Θα το υπολογίσουμε ως εξής:

\displaystyle{z^{2}=-f(1000)\Rightarrow \mid z^{2} \mid = \mid - f(1000) \mid\Rightarrow \mid z^{2} \mid = \mid f(1000)\mid \Rightarrow }

\displaystyle{\mid z \mid^2 = \frac{1000}{\mid z \mid} \Rightarrow \mid z \mid^{3} = 1000\Rightarrow \mid z \mid = 10}

Συνεπώς οι ζητούμενες ρίζες είναι : \displaystyle{z_{1}=10 \cdot i \,\,\,\vee \,\,\,  z_{2}=-10 \cdot i}
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Παρ Ιούλ 19, 2013 2:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από thanasis kopadis » Πέμ Ιούλ 18, 2013 7:49 pm

Μια μικρή διόρθωση στη λύση του φίλου μου του Χρήστου για το ερώτημα β)

β) Είναι f(1000)=\frac{1000}{\left|z \right|}, οπότε η εξίσωση γίνεται:
z^2+\frac{1000}{\left|z \right|}=0\Leftrightarrow z^2\left|z \right|=-1000
Θέτω z=a+bi , άρα η εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται: (a^2-b^2+2abi)\sqrt{a^2+b^2}=-1000, από όπου προκύπτει το σύστημα:
(a^2-b^2)\sqrt{a^2+b^2}=-1000 και 2ab\sqrt{a^2+b^2}=0
Η δεύτερη, αφού z\neq0, δίνει a=0 ή b=0
Αν a=0, από την πρώτη έχουμε: b^2\left|b \right|=1000\Leftrightarrow \left|b \right|^2\left|b \right|=1000\Leftrightarrow \left|b \right|^3=10^3\Leftrightarrow \left|b \right|=10\Leftrightarrow b=\pm 10
Αν b=0 , από την πρώτη έχουμε a^2\left|a \right|=-1000 , αδύνατη.
Άρα z_1=10i , z_2=-10i.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Christos75 » Πέμ Ιούλ 18, 2013 11:31 pm

Έλεγε μία παλιά παροιμία Θανάση, όποιος τη νύχτα περπατεί, λάσπες και ... πατεί!!! Από τότε που η τετραγωνική ρίζα του 1000 κάνει 10 βγαίνουν οι αρκούδες που έγραψα παραπάνω. Δυστυχώς δεν είμαι σε θέση να το αλλάξω διότι δεν είμαι μπροστά σε υπολογιστή τώρα... Θα το κάνω με την πρώτη ευκαιρία! Ζητώ συγγνώμη από όλους τους φίλους για την γκάφα αποτετραγωνισμού!!!


Υ. Γ. Διορθώθηκε επιτέλους Θανάση.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 19, 2013 11:06 pm

Για το δ) ερώτημα είναι |\left z \right|=1 (καθώς ο μιγαδικός κινείται στον μοναδιαίο κύκλο). Συνεπώς το ζητούμενο όριο είναι \displaystyle{ lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{x}\frac{lnt}{t^2}dt}. Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται και έχουμε \displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{lnt}{t^2}dt= \left [ -\frac{1}{t}lnt\right ]_1 ^x -\int_{1}^{x}-\frac{1}{t^2 }dt=-\frac{lnx}{x}+\int_{1}^{x}1/t^2 dt = -\frac{lnx}{x} +\left [ -\frac{1}{t} \right ]_1 ^x =-\frac{lnx}{x} -1/x +1 }. Για το ζητούμενο όριο τώρα έχουμε: lim_{x\rightarrow +\infty } \left ( -lnx/x -1/x +1 \right ) = 1 καθώς το πρώτο όριο με εφαρμογή κανόνα De L' Hospital είναι μηδέν, το δεύτερο μηδέν άρα έχουμε το ζητούμενο.

Β' τρόπος : Εφαρμόζουμε το γνωστό τρόπο όπου φράσουμε τη συνάρτηση και εφαρμόζουμε το θεώρημα Sandwich.

Μία ερώτηση: Αν αλλάζαμε το κάτω άκρο του ολοκληρώματος και αντί για 1 το κάναμε 0 το όριο θα βγαινε ή θα χαμε πρόβλημα;

Φιλικά,
Τόλης


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης