Κλασική (για διαγώνισμα)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Κλασική (για διαγώνισμα)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Παρ Ιούλ 19, 2013 12:31 pm

Καλημέρα στο :logo: Ένα ακόμη θέμα από ένα καινούργιο φυλλάδιο που ετοιμάζω.

Δίνεται συνάρτηση f:[1,6]\rightarrow R δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(6)=3f(1) και f'(2)+4f(2)=2(f^2(2)+2).
Αν ισχύει \frac{f''(x)}{4}=f'(x)(f(x)-1) για κάθε x\epsilon[1,6]

α) Να εκφραστεί η f' ως συνάρτηση της f

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι f(1)>0

γ) Να αποδείξετε ότι \int_{1}^{6}{f(x)dx}<ln3

δ) Αν f(1)-1>0 , να αποδείξετε ότι 2f(4)<f(5)+f(3)


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Κλασική (για διαγώνισμα)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από chris_gatos » Παρ Ιούλ 19, 2013 8:54 pm

thanasis kopadis έγραψε:Καλημέρα στο :logo: Ένα ακόμη θέμα από ένα καινούργιο φυλλάδιο που ετοιμάζω.

Δίνεται συνάρτηση f:[1,6]\rightarrow R δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(6)=3f(1) και f'(2)+4f(2)=2(f^2(2)+2).
Αν ισχύει \frac{f''(x)}{4}=f'(x)(f(x)-1) για κάθε x\epsilon[1,6]

α) Να εκφραστεί η f' ως συνάρτηση της f

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι f(1)>0

γ) Να αποδείξετε ότι \int_{1}^{6}{f(x)dx}<ln3

δ) Αν f(1)-1>0 , να αποδείξετε ότι 2f(4)<f(5)+f(3)


Καλησπέρα.
Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,6] επομένως και η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο [1,6].
α) Η δοθείσα γίνεται: \displaystyle{f''(x) = 4f'(x)f(x) - 4f'(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right]} απ' όπου ολοκληρώνοντας βρίσκουμε:

\displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + c,\forall x \in \left[ {1,6} \right]}

Κάνοντας χρήση της συνθήκης έχω: c=4. Επομένως: \displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + 4,\forall x \in \left[ {1,6} \right].}

β) Έχω: \displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + 4,\forall x \in \left[ {1,6} \right] \Leftrightarrow f'(x) = 2\left[ {{{\left( {f(x) - 1} \right)}^2} + 1} \right] > 0,\forall x \in \left[ {1,6} \right]} άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [1,6].
Έχω: \displaystyle{1 < 6 \Rightarrow f(1) < f(6) = 3f(1) \Rightarrow f(1) > 0.}

γ) Ισχύει:

\displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + 4 \ge {f^2}(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right]\mathop  \Rightarrow \limits^{0 < f(1) \le f(x) \le f(6)} \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} \ge f(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right]}

απ' όπου ολοκληρώνοντας λαμβάνουμε το ζητούμενο.

( Είναι \displaystyle{2{f^2}(x) - 4f(x) + 4 \ge {f^2}(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right] \Leftrightarrow {\left( {f(x) - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {1,6} \right]} )

δ) Αφού f(1)>1 θα είναι και f(x)>1 (λόγω της μονοτονίας) άρα έπεται από τη δοθείσα πως f''(x)>0,\forall x \in [1,6].

Επομένως πρόκειται για κυρτή συνάρτηση. Το ζητούμενο έπεται με εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής στα διαστήματα: [3,4], [4,5]

και την αξιοποίηση της μονοτονίας της πρώτης παραγώγου (λόγω κυρτότητας είναι γνησίως αύξουσα).


Χρήστος Κυριαζής

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες