ΣΥΣΤΗΜΑ 1

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {{x^2} - 4x + 5} = {e^{y - 2}} + 2\\ y + \sqrt {{y^2} - 4y + 5} = {e^{x - 2}} + 2\\ x,y \in R \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

hsiodos · #2

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{ f(t) = t - 2 + \sqrt {(t - 2)^2 + 1} \,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,g(t)\, = e^{t - 2} \,}$ προφανώς θετικές και παραγωγίσιμες στο $\displaystyle{R}$ και παρατηρούμε ότι $\displaystyle{f(2) = g(2) = 1 }$

Είναι $\displaystyle{ f{'} (t) = 1 + \frac{{t - 2}}{{\sqrt {(t - 2)^2 + 1} }} = \frac{{f(t)}}{{\sqrt {(t - 2)^2 + 1} }}}$

Θεωρούμε και την $\displaystyle{h(t) = \frac{{g(t)}}{{f(t)}}}$ με $\displaystyle{ h{'} (t) = \frac{{g{'} (t)f(t) - f{'} (t)g(t)}}{{f^2 (t)}} = \frac{{g(t)f(t) - \frac{{f(t)}}{{\sqrt {(t - 2)^2 + 1} }}g(t)}}{{f^2 (t)}} = \frac{{g(t)\left( {\sqrt {(t - 2)^2 + 1} - 1} \right)}}{{f(t)\sqrt {(t - 2)^2 + 1} }} \ge 0}$ για κάθε $\displaystyle{ t \in R}$ με την ισότητα να ισχύει προφανώς μόνα αν $\displaystyle{t = 2}$

οπότε η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως αύξουσα.

αν $\displaystyle{ t > 2 \Rightarrow h(t) > h(2) \Rightarrow \frac{{g(t)}}{{f(t)}} > 1 \Rightarrow g(t) > f(t)}$ και αν $\displaystyle{ t < 2 \Rightarrow h(t) < h(2) \Rightarrow \frac{{g(t)}}{{f(t)}} < 1 \Rightarrow g(t) < f(t)}$

Προκύπτει τώρα πως το σύστημα έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{ x = y = 2}$

Γιώργος

#3

Και διαφορετικά:

Θέτοντας $\displaystyle{a:=x-2,b:=y-2}$ καλούμαστε να λύσουμε το σύστημα

$\displaystyle{a+\sqrt{1+a^2}=e^b,\quad b+\sqrt{1+b^2}=e^a.}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{x+\sqrt{1+x^2}}$ είναι φανερά γνησίως αύξουσα. Επομένως οποιαδήποτε από τις υποθέσεις $\displaystyle{a>b,b>a}$ οδηγούν σε άτοπο. Άρα $\displaystyle{a=b}$ και έχουμε τώρα να λύσουμε την εξίσωση

$\displaystyle{a+\sqrt{1+a^2}=e^a}$

Αυτή γράφεται και ως $\displaystyle{\sqrt{1+a^2}-a=e^{-a}.}$

Άρα αρκεί να λύσουμε την εξίσωση στο $\displaystyle{[0,+\infty).}$

Είναι για $\displaystyle{a>0,}$ $\displaystyle{(e^a-\sqrt{1+a^2})''=e^a-\frac{1}{\sqrt{(1+a^{\color{red}2}\color{black}) ^3}}>0,}$ άρα η $\displaystyle{e^a-\sqrt{1+a^2}}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{[0,+\infty).}$ Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο $\displaystyle{(0,0)}$ είναι η $\displaystyle{y=x.}$ Άρα $\displaystyle{a=0.}$

Τελικά είναι $\displaystyle{y=x=2.}$

***Διόρθωση ενός εκθέτη

kostas_zervos · #4

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {{x^2} - 4x + 5} = {e^{y - 2}} + 2\\ y + \sqrt {{y^2} - 4y + 5} = {e^{x - 2}} + 2\\ x,y \in R \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

Και άλλος ένας τρόπος....

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x+\sqrt{x^2-4x+5}+e^{x-2}+2\;\;,\;x\in\mathbb{R}$ που είναι συνεχής στο

και παραγωγίσιμη σ' αυτό με $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+5}+x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}+e^{x-2}=$ .

$=\dfrac{\sqrt{(x-2)^2+1}+x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}+e^{x-2}>\dfrac{\sqrt{(x-2)^2}+x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}+e^{x-2}=$

$=\dfrac{|x-2|+x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}+e^{x-2}>0$ αφού $|x-2|\geq -(x-2)\;\;,\;\forall x\in\mathbb{R}$ .

Άρα είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Το σύστημα γράφεται $\begin{cases}x+\sqrt{x^2-4x+5}=e^{y-2}+2\\e^{x-2}+2=y+\sqrt{y^2-4y+5}\end{cases}$ και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $f(x)=f(y) \iff x=y$ αφού η

είναι

.

Άρα οι δύο εξισώσεις είναι ίδιες με την $x + \sqrt {{x^2} - 4x + 5} = {e^{x - 2}} + 2 \iff x-2+\sqrt{(x-2)^2+1}=e^{x-2}\iff$ .

$\iff \dfrac{x-2+\sqrt{(x-2)^2+1}}{e^{x-2}}=1$

Έστω η συνάρτηση $g(t)=\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{e^t}\;\;,\;x\in\mathbb{R}$ που είναι συνεχής στο

και παραγωγίσιμη σ' αυτό με $g'(t)=\dfrac{(t-1)\sqrt{t^2+1}+t^2-t+1}{e^t\sqrt{t^2+1}}$

Για $t\geq 1$ είναι $(t-1)\sqrt{t^2+1}+t^2-t+1>0\iff g'(t)>0$ .

Για t<1

έχουμε $(t-1)\sqrt{t^2+1}+t^2-t+1\geq 0\iff t^2-t+1\geq (1-t)\sqrt{t^2+1}$

και επειδή τα δύο μέλη είναι θετικά , ισοδύναμα έχουμε

$(t^2-t+1)^2\geq (1-t)^2(t^2+1)\iff t^2\geq 0$ που ισχύει (και η ισότητα ισχύει μόνο για x=0

. Άρα για $x<1\;,\x\neq 0$ είναι g'(x)>0

και

.

Έτσι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και g(0)=1

. Άρα $g(t)=1\iff t=0$ .

Επομένως $\dfrac{x-2+\sqrt{(x-2)^2+1}}{e^{x-2}}=1\iff g(x-2)=1\iff x-2=0\iff x=2$ .

Δηλαδή το σύστημα έχει λύση την (x,y)=(2,2)

(που επαληθεύει).

ΣΥΣΤΗΜΑ 1

ΣΥΣΤΗΜΑ 1

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 1

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Μέλη σε σύνδεση