ΣΥΣΤΗΜΑ 6 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {2{y^2} - 1} \right) = 7xy\\ {x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

H δεύτερη εξίσωση γράφεται σαν τριώνυμο του

ως $x^2+\left(y-7 \right)x+y^2-6y+14=0.$
Έχει διακρίνουσα -3y^2+10y-7

και έίναι μη αρνητική, οπότε $\boxed{1\leq y\leq \dfrac{7}{3}}$
Αν τη γράψουμε ως τριώνυμο του

βρίσκουμε διακρίνουσα -3x^2+16x-20,

οπότε $\boxed{2\leq x\leq \dfrac{10}{3}}$
Η πρώτη εξίσωση γράφεται $\left(2x-\dfrac{1}{x} \right)\left(2y-\dfrac{1}{y} \right)=\dfrac{7}{2}$
Η συνάρτηση $f(t)=2t-\dfrac{1}{t}$ είναι εύκολο να δούμε πως είναι γνησίως αύξουσα στους θετικούς. Με βάση τους περιορισμούς που βρήκαμε παραπάνω, είναι $2x-\dfrac{1}{x}=f\left(x \right)\geq f\left(2 \right)=\dfrac{7}{2}$ και $2y-\dfrac{1}{y}=f\left(y \right)\geq f\left(1 \right)=1.$
Άρα η πρώτη εξίσωση επαληθεύεται μόνο όταν $\left(x,y \right)=\left(2,1 \right).$ Το ζευγάρι αυτό δεν επαληθεύει τη δεύτερη εξίσωση, άρα το σύστημα είναι αδύνατο στους πραγματικούς.

ΣΥΣΤΗΜΑ 6 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

ΣΥΣΤΗΜΑ 6 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 6 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Μέλη σε σύνδεση