Eπαναληπτικό Θέμα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Eπαναληπτικό Θέμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τρί Σεπ 17, 2013 11:47 am

Δίνεται συνάρτηση f:(0,+\propto )\rightarrow \mathbb R , δύο φορές παραγωγίσιμη , με f''(x)>0 ,
για την οποία ισχύει ότι \displaystyle{lnf''(x)=\frac{1}{x}-3lnx για κάθε x>0}. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται
από το σημείο A(1,e) και η εφαπτομένη της στο A είναι παράλληλη στον άξονα x'x

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι \displaystyle{x^x\geq e^{x-1}} για κάθε x>0

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{g(x)=2f(x)} , \displaystyle{h(x)=e^{\frac{1}{x}}}
και τις ευθείες x=1 , x=2


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Eπαναληπτικό Θέμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 17, 2013 1:23 pm

Καλησπέρα σε όλη την παρέα του :logo:

α. Έχουμε ότι: \displaystyle{lnf''(x)=\frac{1}{x}-3lnx\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow xf''(x)=\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}}
Από τα δεδομένα έχουμε ότι f(1)=e, \, \, \, \, f'(1)=0.
Τώρα από την προηγούμενη σχέση έχουμε:
\displaystyle{\int_{1}^{x}tf''(t)dt=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}e^{\frac{1}{t}}dt\Leftrightarrow \left [ f'(t)t \right ]_1^x-\int_{1}^{x}f'(t)dt=\left [ -e^{\frac{1}{t}} \right ]_1^x}\displaystyle{\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)+e=-e^{\frac{1}{x}}+e\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)=-e^{\frac{1}{x}}}.
Τώρα διαιρώ με το x^2 οπότε έχω: \displaystyle{\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=e^{\frac{1}{x}}+c} και τελικά βγαίνει ότι : \displaystyle{f(x)=xe^{\frac{1}{x}}} καθώς f(1)=e.

β. Θα δείξω ότι :\displaystyle{x^x\geq e^{x-1}\Leftrightarrow xlnx\geq x-1}. Θεωρώ τη συνάρτηση g(x)=xlnx-x+1 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0, +\infty ) με g'(x)=lnx. Στο x_0=1 έχουμε ολικό ελάχιστο το g(1)=0. Άρα g(x)\geq g(1)=0

Εδώ πρέπει να υπάρχει και πιο γρήγορη λύση φαντάζομαι.

γ.
Για τις ασύμπτωτες:
Παρατηρούμε ότι: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}xe^{\frac{1}{x}}=+\infty } άρα η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη .
Επίσης είναι: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{\frac{1}{x}}=1} και ακόμη \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }(f(x)-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(xe^{\frac{1}{x}}-x)=...=1} άρα η ασύμπτωτη είναι η y=x+1.
Και δεν υπάρχουν άλλες.

δ.Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
\displaystyle{E(\Omega )=\int_{1}^{2}\left | g(x)-h(x) \right |dx=\int_{1}^{2}\left | 2f(x)-h(x) \right |dx=\int_{1}^{2}\left | 2xe^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}} \right |dx}\displaystyle{=\int_{1}^{2}\left ( 2xe^{\frac{1}{x}}-e^\frac{1}{x} \right )dx} εφαρμόζουμε παράγοντες στο πρώτο ολοκλήρωμα και φεύγει με το δεύτερο και το αποτέλεσμα βγαίνει A=4\sqrt{e}-e

Πιο αναλυτικά για το τελευταίο ερώτημα: Έχουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα:
\displaystyle{\int_{1}^{2}({2xe^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}})dx=\int_{1}^{2}{2xe^{\frac{1}{x}}}dx-\int_{1}^{2}{e^{\frac{1}{x}}}dx=\left[x^2e^{\frac{1}{x}} \right]_1^2+\int_{1}^{2}{e^{\frac{1}{x}}}dx-\int_{1}^{2}{e^{\frac{1}{x}}}dx=4\sqrt{e}-e}

Φιλικά,
Τόλης

Υ.Σ : κ. Θανάση πολύ ωραία άσκηση! Προσωπικά μου άρεσε, για το τελευταίο ερώτημα!
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Σεπ 17, 2013 2:05 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Eπαναληπτικό Θέμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από KAKABASBASILEIOS » Τρί Σεπ 17, 2013 1:27 pm

thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται συνάρτηση f:(0,+\propto )\rightarrow \mathbb R , δύο φορές παραγωγίσιμη , με f''(x)>0 ,
για την οποία ισχύει ότι \displaystyle{lnf''(x)=\frac{1}{x}-3lnx για κάθε x>0}. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται
από το σημείο A(1,e) και η εφαπτομένη της στο A είναι παράλληλη στον άξονα x'x

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι \displaystyle{x^x\geq e^{x-1}} για κάθε x>0

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{g(x)=2f(x)} , \displaystyle{h(x)=e^{\frac{1}{x}}}
και τις ευθείες x=1 , x=2


ΛΥΣΗ

α) Είναι από ln{f}''(x)=\frac{1}{x}-3lnx,\,\,\,x>0 {f}''(x)={{e}^{\frac{1}{x}-3lnx}}=\frac{1}{{{x}^{3}}}{{e}^{\frac{1}{x}}}

Τώρα αν F(x)=\int\limits_{1}^{x}{{{e}^{\frac{1}{t}}}}\frac{1}{{{t}^{3}}}dt,\,\,\,x>0 μία αρχική της {f}''(x)=\frac{1}{{{x}^{3}}}{{e}^{\frac{1}{x}}} είναι
F(x)=-\int\limits_{1}^{x}{{{\left( {{e}^{\frac{1}{t}}} \right)}^{\prime }}}\frac{1}{t}dt=-\left[ {{e}^{\frac{1}{t}}}\frac{1}{t} \right]_{1}^{x}-\int\limits_{1}^{x}{{{e}^{\frac{1}{t}}}\frac{1}{{{t}^{2}}}dt}=-\frac{1}{t}{{e}^{\frac{1}{x}}}+e+\left[ {{e}^{\frac{1}{t}}} \right]_{1}^{x}=

=-\frac{1}{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}+e+{{e}^{\frac{1}{x}}}-e=-\frac{1}{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}+{{e}^{\frac{1}{x}}} άρα έχουμε ότι ισχύει

{f}''(x)={{\left( -\frac{1}{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}+{{e}^{\frac{1}{x}}} \right)}^{\prime }} επομένως

{f}'(x)=-\frac{1}{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}+{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,\,x>0 και λόγω υπόθεσης ισχύει ότι

{f}'(1)=0 άρα c=0 επομένως {f}'(x)=-\frac{1}{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}+{{e}^{\frac{1}{x}}},\,\,\,\,x>0

Ακόμη από {f}'(x)=-\frac{1}{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}+{{e}^{\frac{1}{x}}}=(x{)}'{{e}^{\frac{1}{x}}}+x{{\left( {{e}^{\frac{1}{x}}} \right)}^{\prime }}={{\left( x{{e}^{\frac{1}{x}}} \right)}^{\prime }},\,\,\,x>0 άρα είναι

f(x)=x{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x>0 και επειδή f(1)=e είναι c=0 άρα έχουμε

f(x)=x{{e}^{\frac{1}{x}}},\,\,\,x>0

β) Θέλουμε να ισχύει ότι {{x}^{x}}\ge {{e}^{x-1}},\,\,\,x>0 ή \ln {{x}^{x}}\ge \ln {{e}^{x-1}} ή x\ln x\ge x-1 ή

\ln x\ge 1-\frac{1}{x},\,\,\,x>0 από την κυρτότητα της \ln x και την εφαπτομένη της στο (1,\,\,0)που έχει εξίσωση

y=x-1 ισχύει ότι \ln x\le x-1,\,\,\,x>0 άρα με όπου x>0 το \frac{1}{x}>0 θα ισχύει ότι

\ln \frac{1}{x}\le \frac{1}{x}-1,\,\,\,x>0 άρα -\ln x\le \frac{1}{x}-1,\,\,\,x>0 άρα \ln x\ge 1-\frac{1}{x},\,\,\,x>0

αυτό που θέλαμε.

γ) Είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x{{e}^{\frac{1}{x}}}\underset{\begin{smallmatrix} 
 x\to {{0}^{+}} \\ 
 u\to +\infty  
\end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{u}}}{u}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{u}}=+\infty άρα η

x=0 είναι ασύμπτωτη της f .

Επίσης επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{x}}}=1 και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x{{e}^{\frac{1}{x}}}-x)\underset{\begin{smallmatrix} 
 x\to +\infty  \\ 
 u\to 0 
\end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{u}}-1}{u}=1 η ευθεία y=x+1 είναι ασύμπτωτη της f στο +\infty

...και πάλι ποιό αργός από τον Τόλη...αλλά την αφήνω χάριν πλουραλισμού...έχει και συνέχεια....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
kochris
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 3:37 pm
Τοποθεσία: Bόλος

Re: Eπαναληπτικό Θέμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από kochris » Τρί Σεπ 17, 2013 2:54 pm

για το (β) μια σκεψη...

θελουμε νδο x^x\geq e^{x-1} \leftrightarrow xlnx\geq x-1 για καθε x>0. Θετω x=e^k με k \in R. Αρα αρκει νδο ισοδύναμα ke^k \geq e^{k}-1 \leftrightarrow  k \geq 1-e^{-k} \leftrightarrow e^{-k} \geq 1-k

η τελευταία ανισότητα ισχύει για καθε τιμη του k.
τελευταία επεξεργασία από kochris σε Τρί Σεπ 17, 2013 7:14 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Eπαναληπτικό Θέμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από chris_gatos » Τρί Σεπ 17, 2013 3:27 pm

thanasis kopadis έγραψε:β) Να δείξετε ότι \displaystyle{x^x\geq e^{x-1}} για κάθε x>0


Καλησπέρα. Βλέποντας τις λύσεις των μελών νομίζω δεν είδα την εξής πρόταση:

Εκμεταλλευόμενοι πως η συνάρτηση είναι κυρτή μπορούμε να ενεργοποιήσουμε την ιδιότητα της γρ,παραστάσεως

της να είναι "πάνω" από την εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της με εξαίρεση το σημείο επαφής.

Αν λοιπόν βρούμε την εφαπτομένη στο (1,e) τότε με λίγη άλγεβρα καταλήγουμε στο ζητούμενο.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Eπαναληπτικό Θέμα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Τρί Σεπ 17, 2013 11:06 pm

Καλησπέρα σε όλους τους φίλους και ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Για το β) ερώτημα, όποιος συνάδελφος θέλει να χρησιμοποιήσει το θέμα, καλύτερα να συμπληρώσει και το εξής:

"Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και στη συνέχεια να δειχθεί ότι \displaystyle{x^x \geq e^{x-1}} για κάθε x>0"

οπότε με αυτό τον τρόπο να οδηγηθεί ο μαθητής στο να χρησιμοποιήσει το ακρότατο της f(βγαίνει εύκολα μετά την μελέτη), ή την ιδιότητα με την κυρτότητα και την εφαπτομένη της γρ. παράστασης της f, που επίσης βγαίνει γρήγορα και είναι διδακτική.

Έτσι όπως δόθηκε το ερώτημα, η χρήση άλλων συναρτήσεων έδινε πιο σύντομη λύση.


Να προσθέσω και μια διαφορετική αντιμετώπιση για το α)
Από \displaystyle{xf''(x)=\frac{1}{x^2}e^\frac{1}{x}\Leftrightarrow xf''(x)+f'(x)-f'(x)=\frac{1}{x^2}e^\frac{1}{x}\Leftrightarrow (xf'(x)-f(x))'=(-e^\frac{1}{x})'}
και συνεχίζω δύο φορές με το Πόρισμα των Συνεπειών του Θ.Μ.Τ.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης