ΣΥΣΤΗΜΑ 37

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = 2y\\ {2^y} = 2x\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

#2

Προφανώς είναι $\displaystyle{x,y>0.}$

Είναι και

$\displaystyle{2^{x-y}=\frac{y}{x}.}$

Διακρίνοντας περιπτώσεις $\displaystyle{x>y, y>x}$ καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα $\displaystyle{x=y.}$

Mένει να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{2^x=2x.}$

Αυτή έχει τις προφανείς λύσεις $\displaystyle{x=1,x=2}$ και άλλη δεν υπάρχει, αφού $\displaystyle{(2^x-2x)''=2^x(\ln 2)^2>0.}$

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι $\displaystyle{(1,1),(2,2).}$

parmenides51 · #3

μια ξαδέρφη ... μακρινή πάλι

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 1-y}\\ {{2^y} = 1-z}\\ {{2^z} = 1-x} \end{array}} \right.$

εδώ

BAGGP93 · #4

Καλησπέρα και από μένα με έναν ακόμη τρόπο.

Έστω $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\left(0,+\infty\right)\times \left(0,+\infty\right)}$ λύση του συστήματος.

Τότε, θα ισχύει ότι $\displaystyle{2^{x-1}=y\,\,\kappa \alpha \iota\,\,2^{y-1}=x}$ και άρα

$\displaystyle{x-1=\log_{2} y\Leftrightarrow x=1+\log_{2} y\Leftrightarrow 2^{y-1}=1+\log_{2} y\,\,(I)}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(t)=2^{t-1}}$ είναι γνησίως

αύξουσα, άρα $\displaystyle{1-1}$ και αντιστρέψιμη, στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left(0,+\infty\right)}$ .

Εύκολα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f^{-1}(t)=1+\log_{2} t\,,t>0}$ .

Σύμφωνα με τη σχέση $\displaystyle{(I)}$ , το $\displaystyle{y}$ είναι λύση της εξίσωσης $\displaystyle{f(t)=f^{-1}(t)\,,t>0}$ .

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left(0,+\infty\right)}$ , η εξίσωση

$\displaystyle{f(t)=f^{-1}(t)\,,t>0}$ ισοδυναμεί με την $\displaystyle{f(t)=t\,,t>0}$ .

Η τελυταία εξίσωση έχει λυθεί από τον κύριο Θάνο και έχει ως μοναδικές λύσεις τις $\displaystyle{t_1=1\,,t_2=2}$ ,

που σημαίνει ότι $\displaystyle{y\in\left\{1,2\right\}}$

$\displaystyle{y=1\Rightarrow 2^{x-1}=1=2^{0}\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1}$

$\displaystyle{y=2\Rightarrow 2^{x-1}=2=2^{1}\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2}$ .

Παρατηρούμε ότι τα ζεύγη $\displaystyle{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\left(x,y\right)=\left(2,2\right)}$

ικανοποιούν το σύστημα και άρα είναι οι μοναδικές λύσεις αυτού.

ΣΥΣΤΗΜΑ 37

ΣΥΣΤΗΜΑ 37

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 37

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 37

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 37

Μέλη σε σύνδεση