Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

thanasis kopadis · #1

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός

και η συνάρτηση $f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι:
$f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0$ , για κάθε $x\in\mathbb R$ και $f'(x)\neq0$ , για κάθε $x\in\mathbb R$

Αν επιπλέον $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in\mathbb R}$

α) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=ln(f(x))

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{h(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}}$ ,
στο σημείο που τέμνει τον άξονα x'x

, είναι παράλληλη στην ευθεία $\psi=x+2014$

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w=2z-1

κινείται σε κύκλο με κέντρο K(-3,0)

και ακτίνα r=4026

,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{4026}{f(x)dx}}$

Tolaso J Kos · #2

thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση $f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι:
$f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0$ , για κάθε $x\in\mathbb R$ και $f'(x)\neq0$ , για κάθε $x\in\mathbb R$

Αν επιπλέον $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in\mathbb R}$

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{h(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}}$ ,
στο σημείο που τέμνει τον άξονα , είναι παράλληλη στην ευθεία $\psi=x+2014$

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα ,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{4026}{f(x)dx}}$

Καλησπέρα, ας κάνω μία προσπάθεια..
Εφόσον το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in \mathbb{R}}$ αν θεωρήσω την $\displaystyle{g(x)=\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}}$ έχω ότι καθώς $\displaystyle{x\rightarrow 1\, \, \, , g\rightarrow l}$ . Άρα έχω : $\displaystyle{g(x)(x^2-1)=f'(x+3)-2x\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}\left [ g(x)(x^2-1) \right ]=\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f'(x+3)-2x \right ]\Leftrightarrow f'(4)>0}$

Όμως $\displaystyle{f'(x)\neq 0}$ άρα διατηρεί πρόσημο , καθώς είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και επειδή f'(4)>0

έχουμε ότι f'(x)>0

α. Απέδειξα ότι $\displaystyle{f'(x)>0\, \, \, \forall x\in \mathbb{R}}$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα.

β. Για να ορίζεται η

πρέπει

. Από τη σχέση $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0}$ για x=0

παίρνουμε ότι $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0}$ (καθώς $\displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}$ ) άρα $\displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty \right )}$ .

γ. Είναι $h\left ( \left | z+1 \right | \right )=0$ και δεν έχει άλλη ρίζα καθώς για $\displaystyle{x>\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)>0, \, \, \, \, \, x<\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)<0}$ . Αρκεί να αποδείξω ότι $\displaystyle{h'(\left | z+1 \right |)=1}$ .
Είναι $\displaystyle{h'(x)=\frac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}=1-\frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}}$ . Θέτω $\displaystyle{x=\left | z+1 \right |\Rightarrow h'(\left | z+1 \right |)=1}$ άρα ....

δ. Λοιπόν μετά από λανθασμένη λύση έχουμε:
Εφόσον o

κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(-3, 0)

και ακτίνα r=4026

έχουμε ότι είναι:
$\displaystyle{\left | w+3 \right |=4026\Leftrightarrow \left | 2z+2 \right |=4026\Leftrightarrow \left | z+1 \right |=2013}$

Από την προηγούμενη σχέση είναι:
$\displaystyle{f(2013+x)=-f(2013-x)}$ .
Ολοκληρώνουμε και έχουμε: $\displaystyle{\int_{0}^{2013}f(2013+x)dx=-\int_{0}^{2013}f(2013-x)dx}$ και μετά από αλλαγή μεταβλητής έχουμε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{2013}f(u)du+\int_{2013}^{4026}f(u)du=0\Leftrightarrow \int_{0}^{4026}f(u)du=0}$

Ελπίζω τώρα να είναι σωστά.. Κ. Θανάση τη σκότωσα!! Συγνώμη

Τόλης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

γ) $h'(\left| z+1 \right|)=\underset{x\to \left| z+1 \right|}{\mathop{\lim }}\,\frac{h(x)-h(\left| z+1 \right|)}{x-\left| z+1 \right|}=\underset{x\to \left| z+1 \right|}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{f(x)}{f'(x)}}{x-\left| z+1 \right|}=\underset{x\to \left| z+1 \right|}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{f(x)}{x-\left| z+1 \right|}\cdot \frac{1}{f'(x)} \right)=f'(\left| z+1 \right|)\cdot \frac{1}{f'(\left| z+1 \right|)}=1$

Έγινε αλλαγή του

σε $\left| z+1 \right|$

thanasis kopadis · #4

Tolaso J Kos έγραψε: Από τη σχέση $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0}$ για παίρνουμε ότι $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0}$ (καθώς $\displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}$ ) άρα $\displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty \right )}$ . Όμως από την ίδια σχέση βγάζω (εφόσον η είναι ) ότι $\left | z+1 \right |=0$ άρα τελικά το πεδίο ορισμού της είναι το $(0, +\infty )$ .

δ. Όσο για αυτό ο είναι συγκεκριμένος και μάλιστα είναι άρα . Οπότε δε στέκει ο κύκλος! Εκτός άμα κάνω κάτι λάθος!

Τόλης

Καλησπέρα Τόλη. Δεν προκύπτει από κάπου ότι $\left | z+1 \right |=0$ . Γιαυτό σου δημιουργεί πρόβλημα στο δ)

Tolaso J Kos · #5

Ωραία... μετά από π.μ του κ. Χρήστου κατάλαβα που κάνω λάθος.. Ωραία επιστρέφω.... στη λύση του δ)
Κ. Θανάση με συγχωρείτε πάρα πολύ!

thanasis kopadis · #6

Tolaso J Kos έγραψε:Ωραία... μετά από π.μ του κ. Χρήστου κατάλαβα που κάνω λάθος.. Ωραία επιστρέφω.... στη λύση του δ)
Κ. Θανάση με συγχωρείτε πάρα πολύ!

Οπότε θέλει αλλαγή και η απάντηση στο ερώτημα γ) , αφού πρέπει να δείξουμε ότι $h'(\left|z+1 \right|)=1$ .

Tolaso J Kos · #7

Θέλω να ρωτήσω όμως κάτι:
Σε προηγούμενη λύση είχα γράψει: $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)=-f\left ( \left | z+1 \right | -x\right )\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left | z+1 \right |=0}$

Αυτό γιατί δε μπορώ να το πω;

thanasis kopadis · #8

Tolaso J Kos έγραψε:
thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση $f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι:
$f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0$ , για κάθε $x\in\mathbb R$ και $f'(x)\neq0$ , για κάθε $x\in\mathbb R$

Αν επιπλέον $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in\mathbb R}$

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{h(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}}$ ,
στο σημείο που τέμνει τον άξονα , είναι παράλληλη στην ευθεία $\psi=x+2014$

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα ,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{4026}{f(x)dx}}$
Καλησπέρα, ας κάνω μία προσπάθεια..
Εφόσον το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in \mathbb{R}}$ αν θεωρήσω την $\displaystyle{g(x)=\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}}$ έχω ότι καθώς $\displaystyle{x\rightarrow 1\, \, \, , g\rightarrow l}$ . Άρα έχω : $\displaystyle{g(x)(x^2-1)=f'(x+3)-2x\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}\left [ g(x)(x^2-1) \right ]=\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f'(x+3)-2x \right ]\Leftrightarrow f'(4)>0}$

Όμως $\displaystyle{f'(x)\neq 0}$ άρα διατηρεί πρόσημο , καθώς είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και επειδή έχουμε ότι

α. Απέδειξα ότι $\displaystyle{f'(x)>0\, \, \, \forall x\in \mathbb{R}}$ άρα η είναι γνήσια αύξουσα.

β. Για να ορίζεται η πρέπει . Από τη σχέση $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0}$ για παίρνουμε ότι $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0}$ (καθώς $\displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}$ ) άρα $\displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty \right )}$ .

γ. Είναι $h\left ( \left | z+1 \right | \right )=0$ και δεν έχει άλλη ρίζα καθώς για $\displaystyle{x>\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)>0, \, \, \, \, \, x<\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)<0}$ . Αρκεί να αποδείξω ότι $\displaystyle{h'(\left | z+1 \right |)=1}$ .
Είναι $\displaystyle{h'(x)=\frac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}=1-\frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}}$ . Θέτω $\displaystyle{x=\left | z+1 \right |\Rightarrow h'(\left | z+1 \right |)=1}$ άρα ....

δ. Λοιπόν μετά από λανθασμένη λύση έχουμε:
Εφόσον o κινείται σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα έχουμε ότι είναι:
$\displaystyle{\left | w+3 \right |=4026\Leftrightarrow \left | 2z+2 \right |=4026\Leftrightarrow \left | z+1 \right |=2013}$

Από την προηγούμενη σχέση είναι:
$\displaystyle{f(2013+x)=-f(2013-x)}$ .
Ολοκληρώνουμε και έχουμε: $\displaystyle{\int_{0}^{2013}f(2013+x)dx=-\int_{0}^{2013}f(2013-x)dx}$ και μετά από αλλαγή μεταβλητής έχουμε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{2013}f(u)du+\int_{2013}^{4026}f(u)du=0\Leftrightarrow \int_{0}^{4026}f(u)du=0}$

Ελπίζω τώρα να είναι σωστά.. Κ. Θανάση τη σκότωσα!! Συγνώμη

Τόλης

Για το ερώτημα γ) αυτήν την λύση είχα και εγώ. Η λύση του Χρήστου είναι πολύ πιο γρήγορη..

Αφού η

είναι

θα ισχύει ότι $f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2$ , ενώ δεν ισχύει $f(x_1)=-f(x_2)\Leftrightarrow x_1=-x_2$

Tolaso J Kos · #9

Σωστά, τώρα που το σκέφτομαι και γω ναι δεν ισχύει

thanasis kopadis έγραψε: Αφού η είναι θα ισχύει ότι $f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2$ , ενώ δεν ισχύει $f(x_1)=-f(x_2)\Leftrightarrow x_1=-x_2$

Ουφ, κάτι μάθαμε και σήμερα!

κ. Θανάση σας ευχαριστώ που μου δώσατε τη δυνατότητα μέσω της άσκησης αυτής να μάθω το παραπάνω!

Πάντως , θα το πω, ωραία άσκηση!

Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μέλη σε σύνδεση