Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Σάβ Σεπ 28, 2013 5:17 pm

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και η συνάρτηση f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι:
f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0, για κάθε x\in\mathbb R και f'(x)\neq0, για κάθε x\in\mathbb R

Αν επιπλέον \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in\mathbb R}

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=ln(f(x))

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{h(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}},
στο σημείο που τέμνει τον άξονα x'x, είναι παράλληλη στην ευθεία \psi=x+2014

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w=2z-1 κινείται σε κύκλο με κέντρο K(-3,0) και ακτίνα r=4026,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{4026}{f(x)dx}}


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Σάβ Σεπ 28, 2013 6:40 pm

thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και η συνάρτηση f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι:
f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0, για κάθε x\in\mathbb R και f'(x)\neq0, για κάθε x\in\mathbb R

Αν επιπλέον \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in\mathbb R}

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=ln(f(x))

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{h(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}},
στο σημείο που τέμνει τον άξονα x'x, είναι παράλληλη στην ευθεία \psi=x+2014

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w=2z-1 κινείται σε κύκλο με κέντρο K(-3,0) και ακτίνα r=4026,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{4026}{f(x)dx}}


Καλησπέρα, ας κάνω μία προσπάθεια..
Εφόσον το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in \mathbb{R}} αν θεωρήσω την \displaystyle{g(x)=\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}} έχω ότι καθώς \displaystyle{x\rightarrow 1\, \, \, , g\rightarrow l}. Άρα έχω : \displaystyle{g(x)(x^2-1)=f'(x+3)-2x\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}\left [ g(x)(x^2-1) \right ]=\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f'(x+3)-2x \right ]\Leftrightarrow f'(4)>0}

Όμως \displaystyle{f'(x)\neq 0} άρα διατηρεί πρόσημο , καθώς είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και επειδή f'(4)>0 έχουμε ότι f'(x)>0

α. Απέδειξα ότι \displaystyle{f'(x)>0\, \, \, \forall x\in \mathbb{R}} άρα η f είναι γνήσια αύξουσα.

β. Για να ορίζεται η g πρέπει f>0. Από τη σχέση \displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0} για x=0 παίρνουμε ότι \displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0} (καθώς \displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}) άρα \displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty  \right )}.

γ. Είναι h\left ( \left | z+1 \right | \right )=0 και δεν έχει άλλη ρίζα καθώς για \displaystyle{x>\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)>0, \, \, \, \, \, x<\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)<0}. Αρκεί να αποδείξω ότι \displaystyle{h'(\left | z+1 \right |)=1} .
Είναι \displaystyle{h'(x)=\frac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}=1-\frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}} . Θέτω \displaystyle{x=\left | z+1 \right |\Rightarrow h'(\left | z+1 \right |)=1} άρα ....

δ. Λοιπόν μετά από λανθασμένη λύση έχουμε:
Εφόσον o w κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(-3, 0) και ακτίνα r=4026 έχουμε ότι είναι:
\displaystyle{\left | w+3 \right |=4026\Leftrightarrow \left | 2z+2 \right |=4026\Leftrightarrow \left | z+1 \right |=2013}

Από την προηγούμενη σχέση είναι:
\displaystyle{f(2013+x)=-f(2013-x)}.
Ολοκληρώνουμε και έχουμε: \displaystyle{\int_{0}^{2013}f(2013+x)dx=-\int_{0}^{2013}f(2013-x)dx} και μετά από αλλαγή μεταβλητής έχουμε ότι \displaystyle{\int_{0}^{2013}f(u)du+\int_{2013}^{4026}f(u)du=0\Leftrightarrow \int_{0}^{4026}f(u)du=0}

Ελπίζω τώρα να είναι σωστά.. Κ. Θανάση τη σκότωσα!! Συγνώμη :lol: :lol:

Τόλης
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Σάβ Σεπ 28, 2013 7:30 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Σάβ Σεπ 28, 2013 6:53 pm

γ) h'(\left| z+1 \right|)=\underset{x\to \left| z+1 \right|}{\mathop{\lim }}\,\frac{h(x)-h(\left| z+1 \right|)}{x-\left| z+1 \right|}=\underset{x\to \left| z+1 \right|}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{f(x)}{f'(x)}}{x-\left| z+1 \right|}=\underset{x\to \left| z+1 \right|}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{f(x)}{x-\left| z+1 \right|}\cdot \frac{1}{f'(x)} \right)=f'(\left| z+1 \right|)\cdot \frac{1}{f'(\left| z+1 \right|)}=1

Έγινε αλλαγή του 0 σε \left| z+1 \right|
τελευταία επεξεργασία από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ σε Σάβ Σεπ 28, 2013 7:31 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από thanasis kopadis » Σάβ Σεπ 28, 2013 6:56 pm

Tolaso J Kos έγραψε: Από τη σχέση \displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0} για x=0 παίρνουμε ότι \displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0} (καθώς \displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}) άρα \displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty  \right )}. Όμως από την ίδια σχέση βγάζω (εφόσον η f είναι 1-1 ) ότι \left | z+1 \right |=0 άρα τελικά το πεδίο ορισμού της g είναι το (0, +\infty ).



δ. Όσο για αυτό ο z είναι συγκεκριμένος και μάλιστα είναι z=-1 άρα w=-3. Οπότε δε στέκει ο κύκλος! Εκτός άμα κάνω κάτι λάθος!

Τόλης


Καλησπέρα Τόλη. Δεν προκύπτει από κάπου ότι \left | z+1 \right |=0. Γιαυτό σου δημιουργεί πρόβλημα στο δ)


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Tolaso J Kos » Σάβ Σεπ 28, 2013 7:08 pm

Ωραία... μετά από π.μ του κ. Χρήστου κατάλαβα που κάνω λάθος.. Ωραία επιστρέφω.... στη λύση του δ)
Κ. Θανάση με συγχωρείτε πάρα πολύ!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Σάβ Σεπ 28, 2013 7:13 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Ωραία... μετά από π.μ του κ. Χρήστου κατάλαβα που κάνω λάθος.. Ωραία επιστρέφω.... στη λύση του δ)
Κ. Θανάση με συγχωρείτε πάρα πολύ!


Οπότε θέλει αλλαγή και η απάντηση στο ερώτημα γ) , αφού πρέπει να δείξουμε ότι h'(\left|z+1 \right|)=1. ;)


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Tolaso J Kos » Σάβ Σεπ 28, 2013 7:36 pm

Θέλω να ρωτήσω όμως κάτι:
Σε προηγούμενη λύση είχα γράψει: \displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)=-f\left ( \left | z+1 \right | -x\right )\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left | z+1 \right |=0}

Αυτό γιατί δε μπορώ να το πω;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από thanasis kopadis » Σάβ Σεπ 28, 2013 7:40 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και η συνάρτηση f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι:
f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0, για κάθε x\in\mathbb R και f'(x)\neq0, για κάθε x\in\mathbb R

Αν επιπλέον \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in\mathbb R}

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=ln(f(x))

γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{h(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}},
στο σημείο που τέμνει τον άξονα x'x, είναι παράλληλη στην ευθεία \psi=x+2014

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w=2z-1 κινείται σε κύκλο με κέντρο K(-3,0) και ακτίνα r=4026,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{4026}{f(x)dx}}


Καλησπέρα, ας κάνω μία προσπάθεια..
Εφόσον το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}=l\in \mathbb{R}} αν θεωρήσω την \displaystyle{g(x)=\frac{f'(x+3)-2x}{x^2-1}} έχω ότι καθώς \displaystyle{x\rightarrow 1\, \, \, , g\rightarrow l}. Άρα έχω : \displaystyle{g(x)(x^2-1)=f'(x+3)-2x\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}\left [ g(x)(x^2-1) \right ]=\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f'(x+3)-2x \right ]\Leftrightarrow f'(4)>0}

Όμως \displaystyle{f'(x)\neq 0} άρα διατηρεί πρόσημο , καθώς είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και επειδή f'(4)>0 έχουμε ότι f'(x)>0

α. Απέδειξα ότι \displaystyle{f'(x)>0\, \, \, \forall x\in \mathbb{R}} άρα η f είναι γνήσια αύξουσα.

β. Για να ορίζεται η g πρέπει f>0. Από τη σχέση \displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0} για x=0 παίρνουμε ότι \displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0} (καθώς \displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}) άρα \displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty  \right )}.

γ. Είναι h\left ( \left | z+1 \right | \right )=0 και δεν έχει άλλη ρίζα καθώς για \displaystyle{x>\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)>0, \, \, \, \, \, x<\left | z+1 \right |\Rightarrow h(x)<0}. Αρκεί να αποδείξω ότι \displaystyle{h'(\left | z+1 \right |)=1} .
Είναι \displaystyle{h'(x)=\frac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}=1-\frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}} . Θέτω \displaystyle{x=\left | z+1 \right |\Rightarrow h'(\left | z+1 \right |)=1} άρα ....

δ. Λοιπόν μετά από λανθασμένη λύση έχουμε:
Εφόσον o w κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(-3, 0) και ακτίνα r=4026 έχουμε ότι είναι:
\displaystyle{\left | w+3 \right |=4026\Leftrightarrow \left | 2z+2 \right |=4026\Leftrightarrow \left | z+1 \right |=2013}

Από την προηγούμενη σχέση είναι:
\displaystyle{f(2013+x)=-f(2013-x)}.
Ολοκληρώνουμε και έχουμε: \displaystyle{\int_{0}^{2013}f(2013+x)dx=-\int_{0}^{2013}f(2013-x)dx} και μετά από αλλαγή μεταβλητής έχουμε ότι \displaystyle{\int_{0}^{2013}f(u)du+\int_{2013}^{4026}f(u)du=0\Leftrightarrow \int_{0}^{4026}f(u)du=0}

Ελπίζω τώρα να είναι σωστά.. Κ. Θανάση τη σκότωσα!! Συγνώμη :lol: :lol:

Τόλης


:coolspeak: Για το ερώτημα γ) αυτήν την λύση είχα και εγώ. Η λύση του Χρήστου είναι πολύ πιο γρήγορη..

Αφού η f είναι 1-1 θα ισχύει ότι f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2 , ενώ δεν ισχύει f(x_1)=-f(x_2)\Leftrightarrow x_1=-x_2


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό θέμα (όλα τα κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Tolaso J Kos » Σάβ Σεπ 28, 2013 7:43 pm

Σωστά, τώρα που το σκέφτομαι και γω ναι δεν ισχύει
thanasis kopadis έγραψε: Αφού η f είναι 1-1 θα ισχύει ότι f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2 , ενώ δεν ισχύει f(x_1)=-f(x_2)\Leftrightarrow x_1=-x_2

Ουφ, κάτι μάθαμε και σήμερα! :clap2: κ. Θανάση σας ευχαριστώ που μου δώσατε τη δυνατότητα μέσω της άσκησης αυτής να μάθω το παραπάνω!

Πάντως , θα το πω, ωραία άσκηση!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης