συνεχής και παραγωγίσιμη

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Μια καλησπέρα σε όλους με ένα ωραίο, διδακτικό σύνθετο θέμα.
Ας το δούμε.

Θέμα

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R$ , που είναι συνεχής στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ ισχύει $f'(x) \ne 0$ για κάθε $x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ .
i. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ${x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , έτσι ώστε να ισχύει $2010f\left( {{x_0}} \right) = 1000f(\alpha ) + 1010f(\beta )$ .
ii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ${x_1},{x_2},{x_3} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ με ${x_1} \ne {x_2}$ έτσι ώστε: $\frac{{1010}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{{1000}}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} = \frac{{2010}}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}$ .
iii. Να αποδειχθεί ότι $f'\left( {{x_1}} \right) \cdot f'\left( {{x_2}} \right) > 0$ .

Ας το χαρούμε και ίσως και να το διδάξουμε.

Να είστε όλοι καλά,
Θωμάς

#2

Η (i) είναι παρόμοια με την viewtopic.php?f=55&t=3129&p=16963#p16963
οπότε παραλείπω τις λεπτομέρειες.

Για το (ii) εφαρμόζουμε το Θεώρημα μέσης τιμής για την

και παίρνουμε $x_1\in (\alpha,x_0)$ , $x_2\in (x_0,\beta)$ και $x_3 \in (\alpha,\beta)$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f'(x_1)=\frac{f(x_0)-f(\alpha)}{x_0-\alpha}}$ ,

$\displaystyle{f'(x_2)=\frac{f(\beta)-f(x_0)}{\beta-x_0}}$ , και

$\displaystyle{f'(x_3)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}}$

Από το (i) είναι $1000(f(x_0)-f(\alpha))=1010(f(\beta)-f(x_0))$ , οπότε θέτουμε

$\lambda=\frac{f(\beta)-f(x_0)}{1000}=\frac{f(x_0)-f(\alpha)}{1010}\ne 0}$ .

Έτσι

$\displaystyle{f'(x_3)=\frac{f(\beta)-f(x_0)}{\beta-\alpha}+\frac{f(x_0)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\frac{1000\lambda}{\beta-\alpha}+\frac{1010\lambda}{\beta-\alpha}=\frac{2010\lambda}{\beta-\alpha}}$ ,

οπότε

$\displaystyle{\frac{2010}{f'(x_3)}=\frac{\beta-\alpha}{\lambda}=\frac{x_0-\alpha}{\lambda}+\frac{\beta-x_0}{\lambda}=\frac{1010(x_0-\alpha)} {f(x_0)-f(\alpha)}+\frac{1000(\beta-x_0)}{f(\beta)-f(x_0)} =\frac{1010}{f'(x_1)}+\frac{1000}{f'(x_2)}}}$

Το (iii) έπεται από το γεγονός ότι $f'(x)\ne 0$ στο $(\alpha,\beta)$ .

Διαφορετικά

$\displaystyle{f'(x_1)\cdot f'(x_2)= \frac{1010\lambda}{x_0-\alpha}\cdot\frac{1000\lambda}{\beta-x_0}=\frac{1010000\cdot \lambda^2}{(x_0-\alpha)(\beta-x_0)}>0}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Ε, μα που είσαι βρε Θωμα;;

Για να δούμε , τι θα δούμε;

α) Classic!!
Θεωρώ τη συνάρτηση g : [α,β]-> R
με g(x)=2010f(x)-1000f(α)-1010f(β)
Η g συνεχής ως πράξεις συνεχών με g(α)=1010 (f(α)-f(β)) και g(β)=1000(f(β)-f(α)).
Είναι : g(α)g(β)<0 (ετερόσημοι) μιας και δεν υπάρχει περίπτωση να είναι κάποιο απο αυτά μηδέν, γιατί τότε f(α)=f(β)
και απο rolle θα προέκυπτε f'(ξ)=0, ξ στο (α,β), άτοπο.
Αρα ενεργοποιούμε το Θ.Βolzano και βρίσκουμε το χ0 που μας ζητείται!

2)Πειράζουμε λίγο τη σχέση που αποδείξαμε , ως εξής:

$\displaystyle{ 1000(f(x_0 ) - f(a)) = 1010(f(\beta ) - f(x_0 )) }$
( είναι f(α), f(x0), f(β) όλα διαφορετικά μεταξύ τους , βλέπε παραπάνω).

Καλύτερα να τα φτιάξω λίγο (για να εφαρμόσω παράλληλα και μια ωραία ιδιότητα των αναλογιών).

$\displaystyle{ \frac{{1000}}{{f(\beta ) - f(x_0 )}} = \frac{{1010}}{{f(x_0 ) - f(a)}} = \frac{{2010}}{{f(\beta ) - f(a)}} = k(1) }$

Τώρα έχω, με Θ.Μ.Τ στα [α,x0],[x0,β]:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \frac{{1000}}{{f(\beta ) - f(x_0 )}} = k \Rightarrow \frac{{1000}}{{f'(x_2 )}} = k(\beta - x_0 ) \\ \frac{{1010}}{{f(x_0 ) - f(a)}} = k \Rightarrow \frac{{1010}}{{f'(x_1 )}} = k(x_0 - a) \\ \end{array} }$
x2 στο (x0,β), x1 στο (α,x0).

Απ'όπου προσθέτοντας κατά μέλη, λαμβάνω:

$\displaystyle{ \frac{{1000}}{{f'(x_2 )}} + \frac{{1010}}{{f'(x_1 )}} = k(\beta - x_0 + x_0 - a) = k(\beta - a)\mathop { = \frac{{2010}}{{\frac{{f(\beta ) - f(a)}}{{\beta - a}}}}\mathop = \limits^{\Theta {\rm M}{\rm T}} \frac{{2010}}{{f'(x_3 )}}}\limits^{\left( 1 \right)} }$
(Θ.Μ.Τ στο [α,β], x3 στο (α,β))

γ) Για τα f'(x1), f'(x2) έχω δύο επιλογές. Ή θα είναι ομόσημα ή ετερόσημα. Θα αποκλείσω την περίπτωση να είνα ετερόσημα.

Η f ως συνεχής στο [α,β] παρουσιάζει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή . Αφού f'(x) διαφορετική απο το μηδέν , αποκλείεται να είναι σταθερή.Αν η θέση μεγίστου ή ελαχίστου της συνάρτησης βρισκόταν στο εσωτερικό του (α,β) τότε απο Θ.fermat θα είχαμε
άτοπο.

Συνεπώς οι θέσεις μεγίστου ελαχίστου βρίσκονται στα άκρα, Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε πως
στο χ=α έχω το ελάχιστο και στο χ=β το μέγιστο.
Αν λοιπόν, πάλι χωρίς βλάβη f'(x1)<0 και f'(x2)>0, τότε θα είχα f(x0)<f(α) και f(x0)<f(β) . Άτοπο.

Ομοίως και στις άλλες περιπτώσεις.

Συνεπώς είναι ομόσημες.

Ουφ, πλάνταξα στην πληκτρολόγηση!

#4

Η όμορφη αυτή άσκηση έχει έντονο γεωμετρικό άρωμα άρα γίνεται τουλάχιστον γοητευτική

1. Έστω $\displaystyle{m=1000,n=1010}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{mf(a)+nf(b)}{m+n}}$ βρίσκεται ανάμεσα στα $\displaystyle{f(a),f(b)}$ είναι εκείνο το σημείο Χ του ΑΒ που το χωρίζει σε λόγο $\displaystyle{XA/XB=m/n}$ όπου $\displaystyle{A(0,f(a)),X(0,f(x_0)),B(0,f(b))}$
(οπότε η άσκηση βγαίνει και με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών)

2.Μια ανάλυση του ζητουμένου,να εκφραστούν οι παράγωγοι από το ΘΜΤ ως "μέσες" κλίσεις, οδηγεί στην διαμέριση του ΑΒ από το Χ
(Γενικεύεται για ζητούμενο $\displaystyle{m_1/f'(x_1)+...+m_k/f'(x_k)=...}$ όπου $\displaystyle{m_1+...+m_k=1 , m_i>0}$ διαμερίζοντας ανάλογα το σύνολο τιμών με τα κατάλληλα σημεία)

3.Ουσιαστικά πρόκειται για συνέπεια του θεωρήματος Darboux το οποίο βέβαια είναι εκτός ύλης
Ένας άλλος τρόπος απόδειξης μπορεί να είναι (περιληπτικά και με γεωμετρική χροιά)
α) η f είναι 1-1 (Με άτοπο και Rolle)
β) αν πάμε με άτοπο στο ζητούμενο έστω ότι η ΑΧ σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα χ όπου τώρα $\displaystyle{A(a,f(a)),X(x_0,f(x_0)),B(b,f(b))}$ τότε η γωνία της ΧΒ με τον άξονα χ θα είναι αμβλεία ή ΧΒ// στον άξονα χ
γ)άρα το Β θα βρίσκεται πιο κάτω από το Χ ή στην ίδια οριζόντια άτοπο από το 1-1 και το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών

#5

Καλημέρα Ροδόλφε. Εδώ...το είχα το Θdarboux αλλά δε το..ξεφούρνισα , για τους λόγους που λες. Προσπάθησα έμμεσα να ''χρησιμοποιήσω'' την απόδειξή του. Μπορεί σε κάποιον να είναι χρήσιμη, ως σκεπτικό!

spege · #6

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Μια καλησπέρα σε όλους με ένα ωραίο, διδακτικό σύνθετο θέμα.
Ας το δούμε.

Θέμα

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R$ , που είναι συνεχής στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ ισχύει $f'(x) \ne 0$ για κάθε $x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ .
i. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ${x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , έτσι ώστε να ισχύει $2010f\left( {{x_0}} \right) = 1000f(\alpha ) + 1010f(\beta )$ .
ii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ${x_1},{x_2},{x_3} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ με ${x_1} \ne {x_2}$ έτσι ώστε: $\frac{{1010}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{{1000}}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} = \frac{{2010}}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}$ .
iii. Να αποδειχθεί ότι $f'\left( {{x_1}} \right) \cdot f'\left( {{x_2}} \right) > 0$ .

Ας το χαρούμε και ίσως και να το διδάξουμε.

Να είστε όλοι καλά,
Θωμάς

Φίλε Θωμά
Πως ξέρουμε ότι η f΄ διατηρεί πρόσημο αφού δεν γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι συνεχής
Σπύρος

#7

spege έγραψε:
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Μια καλησπέρα σε όλους με ένα ωραίο, διδακτικό σύνθετο θέμα.
Ας το δούμε.

Θέμα

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R$ , που είναι συνεχής στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ ισχύει $f'(x) \ne 0$ για κάθε $x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ .
i. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ${x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , έτσι ώστε να ισχύει $2010f\left( {{x_0}} \right) = 1000f(\alpha ) + 1010f(\beta )$ .
ii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ${x_1},{x_2},{x_3} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ με ${x_1} \ne {x_2}$ έτσι ώστε: $\frac{{1010}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{{1000}}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} = \frac{{2010}}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}$ .
iii. Να αποδειχθεί ότι $f'\left( {{x_1}} \right) \cdot f'\left( {{x_2}} \right) > 0$ .

Ας το χαρούμε και ίσως και να το διδάξουμε.

Να είστε όλοι καλά,
Θωμάς
Φίλε Θωμά
Πως ξέρουμε ότι η f΄ διατηρεί πρόσημο αφού δεν γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι συνεχής
Σπύρος

Από Darboux αλλά δεν χρειάζεται εδώ γιατί δεν λέει $\displaystyle{\forall x_1,x_2}$

#8

Θ DARBOUX
Έστω οτι η f'(x) υπάρχει σε όλα τα σημεία του [α,β] και $\displaystyle{ f'(a) \ne f'(\beta ) }$
τότε , αν το y βρίσκεται μεταξύ των f'(α), f'(β), υπάρχει κάποιο c μεταξύ των α,β τέτοιο ώστε f'(c)=y.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κύριe spege συγνώμη που απαντάω εγω, αλλά η απορία σας άπτεται και επι της λύσης μου.
Φυσικά και δε χρειάζονταν να το πάω τόσο μακριά, αλλά είπαμε ''ανθυποκαθηγητίσκος'' είμαι και οχι ''ολυμπιακών'' διαστάσεων μαθηματικός.

spege · #9

chris_gatos έγραψε:Θ DARBOUX
Έστω οτι η f'(x) υπάρχει σε όλα τα σημεία του [α,β] και $\displaystyle{ f'(a) \ne f'(\beta ) }$
τότε , αν το y βρίσκεται μεταξύ των f'(α), f'(β), υπάρχει κάποιο c μεταξύ των α,β τέτοιο ώστε f'(c)=y.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Louis Brand - Advanced calculus
Κύριe spege συγνώμη που απαντάω εγω, αλλά η απορία σας άπτεται και επι της λύσης μου.
Φυσικά και δε χρειάζονταν να το πάω τόσο μακριά, αλλά είπαμε ''ανθυποκαθηγητίσκος'' είμαι και οχι ''ολυμπιακών'' διαστάσεων μαθηματικός.

Σωστά όλα αυτά , αλλά , πως θα τα πούμε στη Γ΄Λυκείου;

#10

Μα αν διαβάσετε την απόδειξή μου , πουθενά δεν αναφέρω το θεώρημα, παρά στοιχεία της απόδειξης η οποία παραείναι εντός ύλης και το λέω καθαρά, πως ίσως αρέσει σε κάποιο συνάδελφο ή παιδί. Μάλλον δε με διαβάσατε! Δε σας αδικώ καθόλου! Πολύ καλά κάνατε!

συνεχής και παραγωγίσιμη

συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Re: συνεχής και παραγωγίσιμη

Μέλη σε σύνδεση