1-1

alexandrosvets · #1

Καλημέρα στην παρέα του

με μία απορία που μου προέκυψε "παίζοντας" με τα μαθηματικά της Γ τάξης.

Ισχύει για κάθε 1-1

συνάρτηση

φορές παραγωγίσιμη , έστω

, η παρακάτω σχέση:

$f''(x)(f^{-1}(x))''\leq 0$ ,για κάθε

που ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Αν ισχύει,μπορείτε να μου δώσετε μία απόδειξη;

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

alexandrosvets έγραψε: Ισχύει για κάθε συνάρτηση φορές παραγωγίσιμη , έστω , η παρακάτω σχέση:

$f''(x)(f^{-1}(x))''\leq 0$ ,για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Αντιπαράδειγμα η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x},~x>0.}$

#3

alexandrosvets έγραψε: Ισχύει για κάθε συνάρτηση φορές παραγωγίσιμη , έστω , η παρακάτω σχέση:

$f''(x)(f^{-1}(x))''\leq 0$ ,για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Με την ευκαιρία, να κάτι σχετικό:

Δείξε ότι

$\boxed {\displaystyle{ (\(f^{-1}(x))'' = -\frac { f''(x)} { \left (f'(x) \right ) ^3}= -\frac { \frac {d^2y}{dx^2} }{ \left (\frac {dy}{dx} \right ) ^3 }}}$ .

Η απόδειξη μπορεί να γίνει εντός Σχολικής ύλης αλλά είναι μάλλον εκτός πνεύματος.

Γιατί τα λέω αυτά;

Δείξε ότι η ποσότητα της εκφώνησης ισούται με

$\displaystyle{ -\frac { \left (f''(x) \right )^2} { \left (f'(x) \right ) ^3}= -\frac { \left (\frac {d^2y}{dx^2}\right )^2} { \left (\frac {dy}{dx} \right ) ^3 }$

Οπότε αν πάρουμε οποιαδήποτε φθίνουσα συνάρτηση (για παράδειγμα η 1/x

που γράφει ο Θάνος), τότε η παραπάνω ποσότητα είναι θετική.

Φιλικά,

Μιχάλης

alexandrosvets · #4

Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο για τις απαντήσεις σας.

Κύριε Λάμπρου η απόδειξη είναι να θέσουμε $f^{-1}(x)=g(x)\Leftrightarrow x=f(g(x))$ ,παραγωγίζουμε και έχουμε $1=f'(g(x))g'(x) \Leftrightarrow \frac{1}{f'(g(x))}=g'(x)$ και μετά συνεχίζουμε παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση;

Σας ευχαριστώ.

#5

alexandrosvets έγραψε: $1=f'(g(x))g'(x) \Leftrightarrow \frac{1}{f'(g(x))}=g'(x)$ και μετά συνεχίζουμε παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση;

Όλα καλά. Είναι λίγο ευκολότερο να παραγωγίσεις τώρα την αριστερή σχέση (και να αγνοήσεις την ισοδύναμή της, δεξιά) οπότε θα βρείς 0=...

και λοιπά.

Μ.

1-1

1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Μέλη σε σύνδεση