Boom
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Boom
∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε και
1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
2) ∆είξτε ότι η είναι κυρτή στο .
3) ∆είξτε ότι
4) Nα δείξετε οτι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
5) Να βρείτε το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της , του , και τις ευθείες µε
6) Υπολογίστε το και το
1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
2) ∆είξτε ότι η είναι κυρτή στο .
3) ∆είξτε ότι
4) Nα δείξετε οτι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
5) Να βρείτε το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της , του , και τις ευθείες µε
6) Υπολογίστε το και το
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Boom
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...erxmer έγραψε:∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε και
1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
2) ∆είξτε ότι η είναι κυρτή στο .
3) ∆είξτε ότι
4) Nα δείξετε οτι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
5) Να βρείτε το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της , του , και τις ευθείες µε
6) Υπολογίστε το και το
1) Είναι .
Άρα και για .
Επομένως και φυσικά όλα αυτά στο .
2) Ισχύει και . Άρα η είναι κυρτή στο .
3) Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την στο .
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε : .
Ομοίως ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την στο .
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε : .
Όμως η είναι κυρτή στο . Άρα η είναι γνησίως αύξουσα οπότε
.
4) Θεωρώ
Είναι
διότι
Ομοίως αφού
Συνεπώς από Θεώρημα Bolzano, υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της στο .
Επίσης , .
Άρα γνησίως αύξουσα στο , επομένως η ρίζα είναι μοναδική.
5) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η .
Άρα
Για τα όρια του 6) θα επανέλθω...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 02, 2014 11:19 am
Re: Boom
Kαλησπέρα σε όλους. Μια προσπάθεια για το 6α.
Είναι
Θέτουμε
Όταν , τότε
Η παράσταση γίνεται:
Εφαρμόζοντας κανόνα de Hospital για το πρώτο κλάσμα προκύπτει ότι:
Θα αποδείξουμε ότι το δεύτερο κλάσμα είναι μικρότερο του 1.
Ισχύει ότι:
Άρα για αρκούντως μεγάλες τιμές του x θα είναι
Τελικά
Είναι
Θέτουμε
Όταν , τότε
Η παράσταση γίνεται:
Εφαρμόζοντας κανόνα de Hospital για το πρώτο κλάσμα προκύπτει ότι:
Θα αποδείξουμε ότι το δεύτερο κλάσμα είναι μικρότερο του 1.
Ισχύει ότι:
Άρα για αρκούντως μεγάλες τιμές του x θα είναι
Τελικά
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 02, 2014 11:19 am
Re: Boom
Για το 6β ισχύει ότι
Επειδή
συμπεραίνουμε ότι για μεγάλα t είναι και
Επομένως,
Εύκολα αποδεικνύεται ότι .
Επειδή και συμπεραίνουμε ότι
Επειδή
συμπεραίνουμε ότι για μεγάλα t είναι και
Επομένως,
Εύκολα αποδεικνύεται ότι .
Επειδή και συμπεραίνουμε ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες