Θέμα Δ
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Θέμα Δ
Ένα 4ο Θέμα από το βιβλίο του Χρήστου Πατήλα με τίτλο 35 Διαγωνίσματα και 150 Γενικά Θέματα που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Μαυρίδη.
Θέμα Δ
Δίνεται η συνάρτηση , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα . Επίσης, ισχύουν και . Να αποδείξετε ότι :
Δ1.
α) Υπάρχει μοναδικός , ώστε .
β) Υπάρχουν , με , ώστε .
γ) Υπάρχει εφαπτομένη της σε σημείο με τετμημένη στο διάστημα η οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία με την ιδιότητα .
Δ2.
α) Αν για κάθε ισχύει
να βρείτε τους και .
β) Αν επιπλέον ισχύει , για κάθε , να βρείτε την στο διάστημα .
Θέμα Δ
Δίνεται η συνάρτηση , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα . Επίσης, ισχύουν και . Να αποδείξετε ότι :
Δ1.
α) Υπάρχει μοναδικός , ώστε .
β) Υπάρχουν , με , ώστε .
γ) Υπάρχει εφαπτομένη της σε σημείο με τετμημένη στο διάστημα η οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία με την ιδιότητα .
Δ2.
α) Αν για κάθε ισχύει
να βρείτε τους και .
β) Αν επιπλέον ισχύει , για κάθε , να βρείτε την στο διάστημα .
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
Λέξεις Κλειδιά:
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Θέμα Δ
Να το γράψω για τα χρόνια πολλά μου
Δ1.
α) Έστω ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano,
άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα με .
Αν δεν ήταν μοναδικό, τότε υπάρχει ένα ακόμα με την ίδια ιδιότητα.
Στο διάστημα που ορίζουν τα η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης τιμής, άρα υπάρχει .
Το τελευταίο όμως είναι άτοπο, καθώς εύκολα αποδεικνύεται ότι
(θα το δείξω με Λήμμα)
β)Στα διαστήματα , για την ιχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, έχουμε αντίστοιχα:
γ)Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε:
γιατί,
(Έγινε διόρθωση, παρακάτω σε παράθεση βρίσκεται η εσφαλμένη αρχική τοποθέτηση)
Προσθέτω το Λήμμα
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή .
Απόδειξη:
Έστω , ορίζεται η πρώτη παράγωγος σε αυτό , θα δείξουμε ότι .
τότε χρησιμοποιώντας την μονοτονία της συνάρτησης :
Να προσθέσω όμως και ένα δεύτερο Λήμμα που είναι πιο κοντά στα δεδομένα της άσκησης.
Απόδειξη:
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή .
Αφού η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε η πρώτη παράγωγος θα είναι συνεχής συνάρτηση.
Έστω με ,τότε αφού η είναι συνεχής θα υπάρχει περιοχή (διάστημα) του όπου σε αυτή, συνεπώς η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, καταλήξαμε σε άτοπο όμως καθώς η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το .
Δ1.
α) Έστω ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano,
άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα με .
Αν δεν ήταν μοναδικό, τότε υπάρχει ένα ακόμα με την ίδια ιδιότητα.
Στο διάστημα που ορίζουν τα η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης τιμής, άρα υπάρχει .
Το τελευταίο όμως είναι άτοπο, καθώς εύκολα αποδεικνύεται ότι
(θα το δείξω με Λήμμα)
β)Στα διαστήματα , για την ιχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, έχουμε αντίστοιχα:
γ)Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε:
γιατί,
(Έγινε διόρθωση, παρακάτω σε παράθεση βρίσκεται η εσφαλμένη αρχική τοποθέτηση)
Προσθέτω το Λήμμα
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή .
Απόδειξη:
Έστω , ορίζεται η πρώτη παράγωγος σε αυτό , θα δείξουμε ότι .
τότε χρησιμοποιώντας την μονοτονία της συνάρτησης :
Να προσθέσω όμως και ένα δεύτερο Λήμμα που είναι πιο κοντά στα δεδομένα της άσκησης.
Απόδειξη:
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή .
Αφού η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε η πρώτη παράγωγος θα είναι συνεχής συνάρτηση.
Έστω με ,τότε αφού η είναι συνεχής θα υπάρχει περιοχή (διάστημα) του όπου σε αυτή, συνεπώς η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, καταλήξαμε σε άτοπο όμως καθώς η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το .
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Πέμ Απρ 20, 2017 8:56 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Θέμα Δ
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Ένα 4ο Θέμα από το βιβλίο του Χρήστου Πατήλα με τίτλο 35 Διαγωνίσματα και 150 Γενικά Θέματα που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Μαυρίδη.
Θέμα Δ
Δίνεται η συνάρτηση , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα . Επίσης, ισχύουν και . Να αποδείξετε ότι :
Δ1.
α) Υπάρχει μοναδικός , ώστε .
β) Υπάρχουν , με , ώστε .
γ) Υπάρχει εφαπτομένη της σε σημείο με τετμημένη στο διάστημα η οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία με την ιδιότητα .
Δ2.
α) Αν για κάθε ισχύει
να βρείτε τους και .
β) Αν επιπλέον ισχύει , για κάθε , να βρείτε την στο διάστημα .
Δ1) α) Εφαρμόζοντας Θ. Bolzano στην συνάρτηση στο διάστημα προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα , ώστε και επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα το είναι μοναδικό.
β) Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση στο διάστημα προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα τέτοιο ώστε .
Επίσης εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση στο διάστημα προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα τέτοιο ώστε .
Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην επαληθεύουμε ότι ισχύει.
γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το , αφού προκύπτει ότι .
Συνεπώς η εφαπτομένη της στο σημείο με σχηματίζει με τον άξονα γωνία με την ιδιότητα .
Δ2) α) Είναι : . Αντικαθιστώντας το Δ1) , (β) ισοδυνάμως προκύπτει: .
Θεωρώ την συνάρτηση , παραγωγίσιμη με και .
Άρα ισχύει . Συνεπώς η παρουσιάζει στο ακρότατο.
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat. Άρα , από όπου προκύπτει .
Στη συνέχεια με αντικατάσταση στην Δ1) , (β) προκύπτει : και από ένα από τα 2 ΘΜΤ του ιδίου ερωτήματος .
β) Η δοθείσα ισοδυνάμως παίρνει την μορφή:
.
Από πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ έχουμε : .
Για , είναι , από όπου προκύπτει : .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Θέμα Δ
Γεια σου φίλε Χρήστο και χρόνια πολλά. Υγεία και αγάπη.
Στην άσκηση..
Στην άσκηση..
Αυτό λειτουργεί ως παράδειγμα αφού πράγματι για γωνία μεταξύ των και των μοιρών, αρκεί το .γ)Αντιπαράδειγμα η
και
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Θέμα Δ
Καλησπέρα Σταμάτη, χρόνια σου πολλά..
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.
Μόνο στο σημείο
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.
Μόνο στο σημείο
δεν έχει αποδειχθεί ο περιορισμός της γωνίας στο διάστημα που ζητείται..γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το , αφού προκύπτει ότι .
Συνεπώς η εφαπτομένη της στο σημείο με σχηματίζει με τον άξονα γωνία με την ιδιότητα .
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Θέμα Δ
Έχεις δίκιο βρε Λάμπρο, παρερμήνευσα.
Υ.Γ.: Διόρθωσα την αρχική απάντηση.
Υ.Γ.: Διόρθωσα την αρχική απάντηση.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Θέμα Δ
Καλησπέρα Λάμπρο και Χρόνια Πολλά για την γιορτή σου.Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Καλησπέρα Σταμάτη, χρόνια σου πολλά..
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.
Μόνο στο σημείοδεν έχει αποδειχθεί ο περιορισμός της γωνίας στο διάστημα που ζητείται..γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το , αφού προκύπτει ότι .
Συνεπώς η εφαπτομένη της στο σημείο με σχηματίζει με τον άξονα γωνία με την ιδιότητα .
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει
Έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είδα τον ακριβή περιορισμό: .
Ο Χρήστος δίνει την σωστή απάντηση παραπάνω.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες