Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Λάμπρος Μπαλός · #1

Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{3}{5}} tanx dx < \frac{1}{5}$

sotiriszogos · #2

Έχουμε $\displaystyle{\int tan(x) dx} \Rightarrow \displaystyle{\int \frac{sin(x)}{cos(x)} dx}$ $\displaystyle{ }$ (1).
Θέτουμε $u=cos(x) \Rightarrow \frac{du}{dx}=-sin(x)$ .
Έτσι η (1) γίνεται $\displaystyle{\int -\frac{1}{u} du} =-ln(u)+c=-ln(cos(x))+c$ .
Οπότε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{3}{5}} tan(x) dx}=-ln(cos(\frac{3}{5})+ln(cos(0))=-ln(cos(\frac{3}{5}))<\frac{1}{5}$

#3

Νομίζω ότι χάσαμε την ουσία της άσκησης, η οποία είναι εδώ

sotiriszogos έγραψε: $\displaystyle{-ln(cos(\frac{3}{5}))<\frac{1}{5}$

Όλα τα προηγούμενα είναι το σχεδόν τετριμμένο κομμάτι της ερώτησης. Το αναπόδεικτο είναι αυτό που πραγματικά ρωτάει η άσκηση.

Ratio · #4

Μπορούμε να θεωρήσουμε συνάρτηση $f(x)=tanx-\frac{x}{3}$

#5

Ratio έγραψε:Μπορούμε να θεωρήσουμε συνάρτηση $f(x)=tanx-\frac{x}{3}$

Και πως την θεώρησες, τι; Η απάντησή σου είναι πολύ ασαφής. Θα έλεγα μάλιστα ότι δεν οδηγεί σε λύση καθώς ισχύει $\tan x \ge \frac{x}{3}$ ενώ η άσκηση ζητά απόδειξη μια ανιότητας με ανάποδη φορά.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Νομίζω ότι χάσαμε την ουσία της άσκησης, η οποία είναι εδώ

sotiriszogos έγραψε: $\displaystyle{-ln(cos(\frac{3}{5}))<\frac{1}{5}$
Όλα τα προηγούμενα είναι το σχεδόν τετριμμένο κομμάτι της ερώτησης. Το αναπόδεικτο είναι αυτό που πραγματικά ρωτάει η άσκηση.

Πρόσφατο παρόμοιο περιστατικό εδώ

[Σε αντίθεση πάντως με την παραπάνω περίπτωση, η προσέγγιση $cosx>1-\displaystyle\frac{x^2}{2}$ ΔΕΝ φαίνεται να δίνει λύση.]

sotiriszogos · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:Νομίζω ότι χάσαμε την ουσία της άσκησης, η οποία είναι εδώ

sotiriszogos έγραψε: $\displaystyle{-ln(cos(\frac{3}{5}))<\frac{1}{5}$
Όλα τα προηγούμενα είναι το σχεδόν τετριμμένο κομμάτι της ερώτησης. Το αναπόδεικτο είναι αυτό που πραγματικά ρωτάει η άσκηση.

Θεώρησα ότι εφόσον είναι σε κατηγορία Γ λυκείου, το όλο νόημα της άσκησης ήταν η αλλαγή μεταβλητής καθώς νομίζω η υπόλοιπη άσκηση ξεφεύγει από τους σκοπούς της Γ λυκέιου. Θα προσπαθήσω να αποδείξω και το υπόλοιπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Σίγουρα η άσκηση ξεφεύγει από Λύκειο.
Θα έλεγα ότι ξεφεύγει γενικώς για την σημερινή εποχή με τα κομπιουτεράκια.
(εκτός αν είναι εξέταση Αριθμητικής Ανάλυσης και το θέμα είναι οι προσεγγίσεις)

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\cos \frac{3}{5}> e^{-\frac{1}{5}}$
Τα νούμερα που βγάζει το κομπιουτεράκι είναι $\cos \frac{3}{5}\simeq 0,825,e^{-\frac{1}{5}}\simeq 0,818$

Προφανώς δεν θα γράψω νούμερα.Ολα μπορούν να γίνουν με το χέρι.

Χρειαζόμαστε τις εξής ανισότητες που μπορούν να αποδειχθούν με ύλη Γ λυκείου.

$e^{x}> 1+x+\frac{1}{2}x^{2},x> 0$ (1)

$\sin x< x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120} ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$ (2)

Γράφουμε $\cos \frac{3}{5}=1-2(\sin \frac{3}{10})^{2}$

Χρησιμοποιώντας την (2) για $x=\frac{3}{10}$

βγάζουμε $\cos \frac{3}{5}> r$ οπου

συγκεκριμένος αριθμός.

Γράφουμε $e^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$

Ετσι η (1) για $x=\frac{1}{5}$ μας δίνει ότι

$e^{-\frac{1}{5}}< k$ οπου

συγκεκριμένος αριθμός.

Υπολογίζοντας τους k,r

βλέπουμε ότι k< r

που δίνει το ζητούμενο.

#9

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{3}{5}} tanx dx < \frac{1}{5}$

Από τις γνωστές $\sin x \le x, \cos x \ge 1-x^2/2$ έχουμε

$\displaystyle {\int_{0}^{\frac{3}{5}} \tan x dx < \int_{0}^{\frac{3}{5}} \frac {x}{1- \frac {x^2}{2}} dx = - \left [\ln (1- \frac {x^2}{2})\right ] _0^{3/5} =\ln \frac {50}{41}$

Μένει να δείξουμε ότι $\displaystyle{\ln \frac {50}{41}< \frac {1}{5}}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{\left (\frac {50}{41} \right ) ^5< e}$ ή αλλιώς $\displaystyle{ \frac {312500000}{115856201} < e}$ . To τελευταίο ισχύει καθώς το αριστερό μέλος είναι $\approx 2,69$ .

Tο τελευταίο το έκανα με κομπιουτεράκι αλλά επαληθεύεται με το χέρι δείχνοντας π.χ. $2,7 \cdot 115856201 > 312500000$ .

#10

gbaloglou έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Νομίζω ότι χάσαμε την ουσία της άσκησης, η οποία είναι εδώ

sotiriszogos έγραψε: $\displaystyle{-ln(cos(\frac{3}{5}))<\frac{1}{5}$
Όλα τα προηγούμενα είναι το σχεδόν τετριμμένο κομμάτι της ερώτησης. Το αναπόδεικτο είναι αυτό που πραγματικά ρωτάει η άσκηση.
Πρόσφατο παρόμοιο περιστατικό εδώ

[Σε αντίθεση πάντως με την παραπάνω περίπτωση, η προσέγγιση $cosx>1-\displaystyle\frac{x^2}{2}$ ΔΕΝ φαίνεται να δίνει λύση.]

Και όμως δίνει λύση η $cosx>1-\displaystyle\frac{x^2}{2}$ , αρκεί να συνδυαστεί με την $e^x>1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}$ που πρότεινε ο Σταύρος! Πράγματι, από την προσέγγιση της e^x

για $x=\displaystyle\frac{1}{5}$ λαμβάνουμε $e^{-\displaystyle\frac{1}{5}}<\displaystyle\frac{50}{61}$ , ενώ για $x=\displaystyle\frac{3}{5}$ η προσέγγιση της cosx

δίνει $cos(\displaystyle\frac{3}{5})>\frac{41}{50}$ ... και, ΝΑΙ, ισχύει η $\displaystyle\frac{41}{50}>\frac{50}{61}$

[Δεν χρειάζεται δηλαδή η $sinx<x-\displaystyle\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$ του Σταύρου, ούτε επαρκεί η δική μου $e>\displaystyle\frac{8}{3}$

]

Λάμπρος Μπαλός · #11

Η λύση μου πάει ως εξής :

$\int_{0}^{3/5} tanx dx = \int_{0}^{3/5} \frac{sinx}{\sqrt{1-sin^{2}x}}dx < \int_{0}^{3/5} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = [- \sqrt{1-x^{2}}]_{0}^{3/5}= 1/5$ .

Ζητώ συγγνώμη διότι δεν ήμουν 100 τοις 100 τίμιος. Βάζω ολόκληρη την άσκησή μου..

Θέμα Δ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Δ1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

.

Δ2) Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία.

Δ3) Να μελετήσετε την

ως προς την κυρτότητα.

Δ4) Να αποδείξετε ότι $cos^{3}x \geq (1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}$ , για κάθε $x \in (-1,1)$ .

Δ5) Να αποδείξετε ότι :

α) $\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-1/2}^{1/2} \frac{1}{cos^{3}x}dx<1$

β) $\int_{0}^{3/5}tanxdx<\frac{1}{5}$ .

#12

Λάμπρο πολύ καλά έκανες και έβαλες την ανισότητα όπως την έβαλες, καταδείχνοντας την δυσκολία της! Και το τέχνασμα επίλυσης που μας δίνεις συνδυάζει πολύ όμορφα Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό, και δεν χρειάζεται να ξέρει κανείς την υπόλοιπη άσκηση για να το δει

Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Re: Μικρή (ανισότητα-ολοκλήρωμα)

Μέλη σε σύνδεση