ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Aladdin
Δημοσιεύσεις: 136
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Aladdin » Τετ Μάιος 17, 2017 9:01 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln x} .
Α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{{\xi _1} \in (0,1)} και μοναδικό \displaystyle{{\xi _2} \in (2,3)} τέτοια ώστε \displaystyle{f\left( {{\xi _1}} \right) = 1} και \displaystyle{f\left( {{\xi _2}} \right) = 10}
Β) Αν η \displaystyle{{f^{ - 1}}} είναι συνεχής και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{{f^{ - 1}}}, τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x = 1,x = 10}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{{e^2} + 1 < E < 2{e^3} + 4}



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από KAKABASBASILEIOS » Παρ Μάιος 19, 2017 1:23 am

Aladdin έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln x} .
Α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{{\xi _1} \in (0,1)} και μοναδικό \displaystyle{{\xi _2} \in (2,3)} τέτοια ώστε \displaystyle{f\left( {{\xi _1}} \right) = 1} και \displaystyle{f\left( {{\xi _2}} \right) = 10}
Β) Αν η \displaystyle{{f^{ - 1}}} είναι συνεχής και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{{f^{ - 1}}}, τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x = 1,x = 10}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{{e^2} + 1 < E < 2{e^3} + 4}


...μιά αντιμετώπιση(...μάλλον σε λάθος φάκελλο είναι κατά την εκτίμηση μου...πολλές απαιτήσεις!!!!)

Α) Είναι η f(x)={{e}^{x}}+\ln x,\,\,x>0 παραγωγίσιμη με {f}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x}>0,\,\,\,x>0 άρα γνήσια αύξουσα στο

A=(0,\,\,+\infty ) έτσι στο {{A}_{1}}=(0,\,\,1] θα είναι

f({{A}_{1}})=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,f(1)]=(-\infty ,\,\,e] και επειδή 1\in f({{A}_{1}})=(-\infty ,\,\,e]

θα υπάρχει μοναδικό \displaystyle{{\xi _1} \in (0,1)} ώστε \displaystyle{f\left( {{\xi _1}} \right) = 1} και ακόμη στο

{{A}_{2}}=[2,3]θα είναι f({{A}_{2}})=[f(2),\,\,f(3)]=[{{e}^{2}}+\ln 2,\,\,{{e}^{3}}+\ln 3] και επειδή

10\in f({{A}_{2}})=[{{e}^{2}}+\ln 2,\,\,{{e}^{3}}+\ln 3] θα υπάρχει μοναδικό

\displaystyle{{\xi _2} \in (2,3)}ώστε f\left( {{\xi }_{2}} \right)=10

Β) Επειδή f είναι γνήσια αύξουσα στο A=(0,\,\,+\infty )θα είναι και '1-1' άρα αντιστρέψιμη με {{f}^{-1}}:f(A)\to A με

f(A)=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R

και γνήσια αύξουσα αφού για

{{y}_{1}}<{{y}_{2}}\Rightarrow f({{f}^{-1}}({{y}_{1}}))<f({{f}^{-1}}({{y}_{2}}))\overset{f:\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,{{f}^{-1}}({{y}_{1}})<{{f}^{-1}}({{y}_{2}})

επομένως θα είναι E=\int\limits_{1}^{10}{|}{{f}^{-1}}(x)|dx που με u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x επομένως

{f}'(u)du=dx και x=1\to u={{\xi }_{1}},\,\,x=10\to u={{\xi }_{2}} και έτσι

E=\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{|}u|{f}'(u)du=\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{u{f}'(u)du}=\left[ uf(u) \right]_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}-\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{f(u)du}

=\left[ uf(u) \right]_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}-\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{f(u)du}={{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{({{e}^{x}}+\ln x)dx=}

={{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-\left[ {{e}^{x}}+x\ln x-x \right]_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}=

={{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-({{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}\ln {{\xi }_{2}}-{{\xi }_{2}})+({{e}^{{{\xi }_{1}}}}+{{\xi }_{1}}\ln {{\xi }_{1}}-{{\xi }_{1}})=

{{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-{{e}^{{{\xi }_{2}}}}-{{\xi }_{2}}\ln {{\xi }_{2}}+{{\xi }_{2}}+{{e}^{{{\xi }_{1}}}}+{{\xi }_{1}}\ln {{\xi }_{1}}-{{\xi }_{1}}=

{{e}^{{{\xi }_{1}}}}+{{\xi }_{1}}(-f({{\xi }_{1}})+\ln {{\xi }_{1}})-{{\xi }_{1}}-{{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}(f({{\xi }_{2}})-\ln {{\xi }_{2}})+{{\xi }_{2}}=

{{e}^{{{\xi }_{1}}}}-{{\xi }_{1}}{{e}^{{{\xi }_{1}}}}-{{\xi }_{1}}-{{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}{{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}=g({{\xi }_{1}})-g({{\xi }_{2}})

με g(x)={{e}^{x}}-x{{e}^{x}}-x.

Τώρα έχουμε ότι {g}'(x)={{e}^{x}}-{{e}^{x}}-x{{e}^{x}}-1=-x{{e}^{x}}-1<0,\,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )

επομένως η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα στο [0,\,\,+\infty ) και επομένως θα ισχύουν

0<{{\xi }_{1}}<1\Rightarrow g(0)>g({{\xi }_{1}})>g(1)\Rightarrow 1>g({{\xi }_{1}})>-1\Leftrightarrow -1<g({{\xi }_{1}})<1

και 2<{{\xi }_{1}}<3\Rightarrow g(2)>g({{\xi }_{2}})>g(3)\Rightarrow -{{e}^{2}}-2>g({{\xi }_{2}})>-2{{e}^{3}}-3 ή

{{e}^{2}}+2<-g({{\xi }_{2}})<2{{e}^{3}}+3 και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

{{e}^{2}}+1<g({{\xi }_{1}})-g({{\xi }_{2}})<2{{e}^{3}}+4 ή \displaystyle{{e^2} + 1 < E < 2{e^3} + 4} που είναι αυτό που θέλαμε .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Aladdin
Δημοσιεύσεις: 136
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Aladdin » Παρ Μάιος 19, 2017 3:24 pm

Βασίλη ευχαριστώ! Αυτή τη λύση βρήκα κ εγώ μετά από κόπο!! Την άσκηση τη βρήκα σε διαγώνισμα φροντιστηρίου!!! και ήθελα να δω αν υπάρχει άλλη λύση πιο απλή ...Μεγάλη απορία πως μπήκε τέτοιο ερώτημα σε διαγώνισμα..



Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης