ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Aladdin · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln x}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{{\xi _1} \in (0,1)}$ και μοναδικό $\displaystyle{{\xi _2} \in (2,3)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f\left( {{\xi _1}} \right) = 1}$ και $\displaystyle{f\left( {{\xi _2}} \right) = 10}$
Β) Αν η $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ είναι συνεχής και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x = 1,x = 10}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{e^2} + 1 < E < 2{e^3} + 4}$

#2

Aladdin έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln x}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{{\xi _1} \in (0,1)}$ και μοναδικό $\displaystyle{{\xi _2} \in (2,3)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f\left( {{\xi _1}} \right) = 1}$ και $\displaystyle{f\left( {{\xi _2}} \right) = 10}$
Β) Αν η $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ είναι συνεχής και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x = 1,x = 10}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{e^2} + 1 < E < 2{e^3} + 4}$

...μιά αντιμετώπιση(...μάλλον σε λάθος φάκελλο είναι κατά την εκτίμηση μου...πολλές απαιτήσεις!!!!)

Α) Είναι η $f(x)={{e}^{x}}+\ln x,\,\,x>0$ παραγωγίσιμη με ${f}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x}>0,\,\,\,x>0$ άρα γνήσια αύξουσα στο

$A=(0,\,\,+\infty )$ έτσι στο ${{A}_{1}}=(0,\,\,1]$ θα είναι

$f({{A}_{1}})=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,f(1)]=(-\infty ,\,\,e]$ και επειδή $1\in f({{A}_{1}})=(-\infty ,\,\,e]$

θα υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{{\xi _1} \in (0,1)}$ ώστε $\displaystyle{f\left( {{\xi _1}} \right) = 1}$ και ακόμη στο

${{A}_{2}}=[2,3]$ θα είναι $f({{A}_{2}})=[f(2),\,\,f(3)]=[{{e}^{2}}+\ln 2,\,\,{{e}^{3}}+\ln 3]$ και επειδή

$10\in f({{A}_{2}})=[{{e}^{2}}+\ln 2,\,\,{{e}^{3}}+\ln 3]$ θα υπάρχει μοναδικό

$\displaystyle{{\xi _2} \in (2,3)}$ ώστε $f\left( {{\xi }_{2}} \right)=10$

Β) Επειδή

είναι γνήσια αύξουσα στο $A=(0,\,\,+\infty )$ θα είναι και '1-1'

άρα αντιστρέψιμη με ${{f}^{-1}}:f(A)\to A$ με

$f(A)=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R$

και γνήσια αύξουσα αφού για

${{y}_{1}}<{{y}_{2}}\Rightarrow f({{f}^{-1}}({{y}_{1}}))<f({{f}^{-1}}({{y}_{2}}))\overset{f:\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,{{f}^{-1}}({{y}_{1}})<{{f}^{-1}}({{y}_{2}})$

επομένως θα είναι $E=\int\limits_{1}^{10}{|}{{f}^{-1}}(x)|dx$ που με $u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x$ επομένως

{f}'(u)du=dx

και $x=1\to u={{\xi }_{1}},\,\,x=10\to u={{\xi }_{2}}$ και έτσι

$E=\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{|}u|{f}'(u)du=\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{u{f}'(u)du}=\left[ uf(u) \right]_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}-\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{f(u)du}$

$=\left[ uf(u) \right]_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}-\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{f(u)du}={{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-\int\limits_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}{({{e}^{x}}+\ln x)dx=}$

$={{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-\left[ {{e}^{x}}+x\ln x-x \right]_{{{\xi }_{1}}}^{{{\xi }_{2}}}=$

$={{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-({{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}\ln {{\xi }_{2}}-{{\xi }_{2}})+({{e}^{{{\xi }_{1}}}}+{{\xi }_{1}}\ln {{\xi }_{1}}-{{\xi }_{1}})=$

${{\xi }_{2}}f({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{1}}f({{\xi }_{1}})-{{e}^{{{\xi }_{2}}}}-{{\xi }_{2}}\ln {{\xi }_{2}}+{{\xi }_{2}}+{{e}^{{{\xi }_{1}}}}+{{\xi }_{1}}\ln {{\xi }_{1}}-{{\xi }_{1}}=$

${{e}^{{{\xi }_{1}}}}+{{\xi }_{1}}(-f({{\xi }_{1}})+\ln {{\xi }_{1}})-{{\xi }_{1}}-{{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}(f({{\xi }_{2}})-\ln {{\xi }_{2}})+{{\xi }_{2}}=$

${{e}^{{{\xi }_{1}}}}-{{\xi }_{1}}{{e}^{{{\xi }_{1}}}}-{{\xi }_{1}}-{{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}{{e}^{{{\xi }_{2}}}}+{{\xi }_{2}}=g({{\xi }_{1}})-g({{\xi }_{2}})$

με $g(x)={{e}^{x}}-x{{e}^{x}}-x$ .

Τώρα έχουμε ότι ${g}'(x)={{e}^{x}}-{{e}^{x}}-x{{e}^{x}}-1=-x{{e}^{x}}-1<0,\,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$

επομένως η συνάρτηση

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,+\infty )$ και επομένως θα ισχύουν

$0<{{\xi }_{1}}<1\Rightarrow g(0)>g({{\xi }_{1}})>g(1)\Rightarrow 1>g({{\xi }_{1}})>-1\Leftrightarrow -1<g({{\xi }_{1}})<1$

και $2<{{\xi }_{1}}<3\Rightarrow g(2)>g({{\xi }_{2}})>g(3)\Rightarrow -{{e}^{2}}-2>g({{\xi }_{2}})>-2{{e}^{3}}-3$ ή

${{e}^{2}}+2<-g({{\xi }_{2}})<2{{e}^{3}}+3$ και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

${{e}^{2}}+1<g({{\xi }_{1}})-g({{\xi }_{2}})<2{{e}^{3}}+4$ ή $\displaystyle{{e^2} + 1 < E < 2{e^3} + 4}$ που είναι αυτό που θέλαμε .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Aladdin · #3

Βασίλη ευχαριστώ! Αυτή τη λύση βρήκα κ εγώ μετά από κόπο!! Την άσκηση τη βρήκα σε διαγώνισμα φροντιστηρίου!!! και ήθελα να δω αν υπάρχει άλλη λύση πιο απλή ...Μεγάλη απορία πως μπήκε τέτοιο ερώτημα σε διαγώνισμα..

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Μέλη σε σύνδεση