ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ

Aladdin · #1

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f''(x) > 0,\,\forall x \in [\alpha ,\beta ]}$ με $\displaystyle{\alpha > 0}$ και $\displaystyle{f'(\alpha ) = f(\alpha ) = 0}$ .
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(x) > 0,\,\forall x \in (\alpha ,\beta ]}$
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f'(x) > \frac{{f(x)}}{x},\,\forall x \in (\alpha ,\beta ]}$
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta ):\xi f(\xi ) = \int_\alpha ^\beta {2f(x)dx} }$
δ) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_\alpha ^\beta {\left( {2x - (\alpha + \beta )} \right) \cdot f(x)dx} > 0}$

Η απορία μου είναι στο δ), Καλημέρα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Aladdin έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f''(x) > 0,\,\forall x \in [\alpha ,\beta ]}$ με $\displaystyle{\alpha > 0}$ και $\displaystyle{f'(\alpha ) = f(\alpha ) = 0}$ .

δ) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_\alpha ^\beta {\left( {2x - (\alpha + \beta )} \right) \cdot f(x)dx} > 0}$

Η απορία μου είναι στο δ), Καλημέρα.

Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι f'(x)> 0

που προκύπτει εύκολα από τις υποθέσεις.

Θέτουμε $I=\displaystyle{\int_{a}^{b} {\left( {2x - (a + b )} \right) \cdot f(x)dx} }$

Είναι
$I=\int_{a}^{b}((x-\frac{a+b}{2})^{2})'f(x)dx=(\frac{b-a}{2})^{2}(f(b)-f(a))-\int_{a}^{b}((x-\frac{a+b}{2})^{2})f'(x)dx$

Παρατηρώντας ότι $f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx$

και $x\in (a,b)\Rightarrow \left | x-\frac{a+b}{2} \right |< \frac{b-a}{2}$

συμπεραίνουμε ότι

$I=\int_{a}^{b}f'(x)((\frac{b-a}{2})^{2}-(x-\frac{a+b}{2})^{2})dx> 0$

Aladdin · #3

Ευχαριστώ!

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση