Γνωστή και Γεωμετρική.

Σταμ. Γλάρος · #1

Καλησπέρα.
'Εστω συνάρτηση $f:[0,4]\rightarrow \mathbb{R}$ , συνεχής στο [0,4]

και παραγωγίσιμη στο (0,4)

για την οποία ισχύουν : $f(x) f'(x)+x = 2 \,\,\, \,\,\,\,\,\forall x\in (0,4)$ και f(2)=2

.

A) Να βρείτε την συνάρτηση

.
Β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx$ .

Tolaso J Kos · #2

Σταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα.
'Εστω συνάρτηση $f:[0,4]\rightarrow \mathbb{R}$ , συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
για την οποία ισχύουν : $f(x) f'(x)+x = 2 \,\,\, \,\,\,\,\,\forall x\in (0,4)$ και .

A) Να βρείτε την συνάρτηση .
Β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx$ .

Μία προσπάθεια...

(α) Η δοσμένη σχέση (ύστερα από την αντιπαραγώγιση) γράφεται ως
$\displaystyle{f^2(x)=4x-x^2}$ H

έχει ρίζα στα σημεία x_1=0

και

. Στο διάστημα (0, 4)

διατηρεί πρόσημο ( αφού οι ρίζες της

είναι δύο διαδοχικές και άρα σύμφωνα με ένα θεώρημα του βιβλίου η συνάρτηση διατηρεί πρόσημο μεταξύ διαδοχικών ριζών) και δη θετικό αφού f(2)=2>0

. Άρα $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [0, 4]$ . Συνεπώς
$\displaystyle{f(x)=\sqrt{4x-x^2} \; , \; x \in [0, 4]}$ (β) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{2}^{3} \sqrt{4x-x^2} \, {\rm d}x &= \int_{2}^{3} \sqrt{4 - \left ( x-2 \right )^2} \, {\rm d}x\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{x-2=2 \sin \theta}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\pi/6} \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} \, {\rm d}\theta \\ &= 2\int_{0}^{\pi/6} \cos^2 \theta \, {\rm d}\theta \\ &= \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}}$ (*)

Η μεθοδολογία επίλυσης του $\bigintsss_0^{\pi/6} \cos^2 \theta \, {\rm d}\theta$ θεωρείται γνωστή.

Υ.Σ: Συγνώμη, αλλά δε βλέπω τη γεωμετρία.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: $\displaystyle{f^2(x)=4x-x^2}$ ...
Υ.Σ: Συγνώμη, αλλά δε βλέπω τη γεωμετρία.

Υπόδειξη. Τι γεωμετρικό σχήμα βλέπεις εδώ:

$\displaystyle{y^2=4x-x^2;}$

Η εφαπτομένη στο σχήμα τι σου λέει;

#4

: Γεωμετρική Γνωστή.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 1216 φορές

Γραφική παράσταση( ημικύκλιο ) της συνάρτησης και γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος στο ολοκλήρωμα.

#5

Σταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα.
'Εστω συνάρτηση $f:[0,4]\rightarrow \mathbb{R}$ , συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
για την οποία ισχύουν : $f(x) f'(x)+x = 2 \,\,\, \,\,\,\,\,\forall x\in (0,4)$ και .

A) Να βρείτε την συνάρτηση .
Β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx$ .

...μαζί με την Καλησπέρα σε όλους της παρέας και ειδικά στο φίλο μου το Σταμάτη...
προσθέτω την γεωμετρική απάντηση μιάς και η αλγεβρική του Τόλη είναι και εκτός σχολικής ύλης...

Β) Όπως έδειξε ο Τόλης στο Α είναι $f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}},\,\,x\in [0,\,4]$ και για την γραφική παράσταση της

με

$y=\sqrt{4x-{{x}^{2}}},\,\,x\in [0,\,4],\,\,\,y\ge 0$ έχουμε ότι ${{y}^{2}}=4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow$

${{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ άρα τα σημεία $(x,\,\,y)$ ανήκουν στο ημικύκλιο πάνω από τον {x}'x

του κύκλου κέντρου K(2,0)

και ακτίνας $\rho =2$

Τώρα για το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx$ βλέποντας την γεωμετρία του σχήματος

: ΓΝΩΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ.jpg (11.14 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

είναι το εμβαδόν του κυκλικού τομέα $KB\Gamma$ και του τριγώνου $K\Delta \Gamma$

Επειδή $\varepsilon \phi \omega =\frac{\Gamma \Delta }{\Kappa \Delta }=\sqrt{3}$ η γωνία $\omega =\Gamma \hat{K}\Delta =\frac{\pi }{3}$

ρα η γωνία $\Gamma \hat{K}\Beta =\frac{\pi }{6}$ και το εμβαδό του κυκλικού τομέα $KB\Gamma$ είναι

${{E}_{K\overset{\scriptscriptstyle\frown}{\Beta }\Gamma }}=\frac{1}{2}\,\alpha \,{{\rho }^{2}}=\frac{1}{2}\,\frac{\pi }{6}\,{{2}^{2}}=\frac{\pi }{3}$

και του τριγώνου ${{E}_{K\Gamma \Delta }}=\frac{1}{2}\,\Kappa \Delta \,\Gamma \Delta =\frac{1}{2}\,\cdot 1\,\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

επομένως $\int\limits_{2}^{3}{f}(x)dx=\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

Γνωστή και Γεωμετρική.

Γνωστή και Γεωμετρική.

Re: Γνωστή και Γεωμετρική.

Re: Γνωστή και Γεωμετρική.

Re: Γνωστή και Γεωμετρική.

Re: Γνωστή και Γεωμετρική.

Μέλη σε σύνδεση