Στριφνή

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

one_off
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 10:50 am

Στριφνή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από one_off » Κυρ Ιουν 25, 2017 12:11 am

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{1-\sqrt{x^7}}}.

1) Να μελετήσετε  τη  συνάρτηση  f  ως  προς τη  μονοτονία και  τα ακρότατα, και  να βρείτε  το σύνολο
τιμών  της.

2) Nα σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

3) Να υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{1}f^3(x)dx}

στριφνή σαν τα φετινά μαργαριτάρια.... :twisted:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Στριφνή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιουν 25, 2017 12:28 am

one_off έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{1-\sqrt{x^7}}}.

1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.

2) Nα σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

3) Να υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{1}f^3(x)dx}

στριφνή σαν τα φετινά μαργαριτάρια.... :twisted:
(α) Για να ορίζεται η f πρέπει x \geq 0 και
\displaystyle{\begin{aligned} 
1-\sqrt{x^7} \geq 0 &\Leftrightarrow \sqrt{x^7} \leq 1 \\  
 &\Leftrightarrow x^7 \leq 1 \\  
 &\Leftrightarrow x \leq 1 
\end{aligned}} Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα [0, 1]. Η f είναι γνήσια φθίνουσα στο [0, 1] διότι για 0 \leq x_1<x_2 \leq 1 έχουμε
\displaystyle{x_1^7 < x_2^7 \Rightarrow \sqrt{x_1^7} < \sqrt{x_2^7} \Rightarrow - \sqrt{x_1^7} > - \sqrt{x_2^7} \Rightarrow 1- \sqrt{x_1^7} > 1 - \sqrt{x_2^7} } Παίροντας κυβική ρίζα και στα δύο μέλη έχουμε ότι f(x_1)>f(x_2). Άρα ως γνήσια φθίνουσα παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 με τιμή f(0)=1 και ολικό ελάχιστο στο 1 με τιμή 0. To σύνολο τιμών , αφού η f είναι γνήσια φθίνουσα και συνεχής είναι το [f(1), f(0)] = [0, 1].

(β) Είμαι μακριά από τα λογισμικά αυτή τη στιγμή αλλά η μελέτη της δεύτερης παραγώγου μου φαίνεται λίγο δύσκολη.

(γ) Για το ολοκλήρωμα έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} f^3(x) \, {\rm d}x &= \int_{0}^{1} \left ( 1- \sqrt{x^7} \right ) \ 
\, {\rm d}x \\  
 &= 1- \int_{0}^{1} \sqrt{x^7} \, {\rm d}x\\  
 &= 1- \left [ \frac{2x \sqrt{x^7}}{9} \right ]_0^1\\  
 &= 1-\frac{2}{9} \\ 
 &= \frac{7}{9} 
\end{aligned}} Όντως στριφνή άσκηση και δε βλέπω το λόγο να ζητηθεί κάτι τέτοιο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Στριφνή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Νοέμ 05, 2017 11:51 am

one_off έγραψε:
Κυρ Ιουν 25, 2017 12:11 am

2) Nα σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση
Επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στριφνή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 05, 2017 1:19 pm

Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις, είναι \displaystyle f''(x) =  - \frac{{7x\sqrt x (15 - \sqrt {{x^7}} )}}{{36{{\left( {\sqrt[3]{{1 - {x^7}}}} \right)}^5}}} < 0,x \in (0,1)

H f είναι λοιπόν κοίλη στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα με σύνολο τιμών [0,1] (από την δημοσίευση του Τόλη). Είναι

ακόμα ορισμένη και συνεχής στο κλειστό [0,1], άρα δεν υπάρχουν ασύμπτωτες. Η γραφική παράσταση φαίνεται παρακάτω.
Στριφνή.png
Στριφνή.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές
Ενδιαφέρον θα είχε ως προς τη γραφική παράσταση η \displaystyle g(x) = \sqrt[3]{{\left| {1 - \sqrt {{|x|^7}} } \right|}}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Στριφνή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Νοέμ 05, 2017 2:14 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 05, 2017 1:19 pm

Ενδιαφέρον θα είχε ως προς τη γραφική παράσταση η \displaystyle g(x) = \sqrt[3]{{\left| {1 - \sqrt {{|x|^7}} } \right|}}
:shock: :shock:
Γιώργο, κάτι άλλο ;
Ευχαριστώ που συμπλήρωσες τη λύση μου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Ratio
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Στριφνή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Νοέμ 06, 2017 11:09 am

Κάτι που θεωρώ σημαντικό για το πεδίο ορισμού: θα πρέπει να αιτιολογηθεί πλήρως γιατί x\leq 1
Δηλαδή πρέπει να υπάρχει σχήμα Horner της διαίρεσης \frac{x^{7}-1}{x-1}
με αιτιολόγηση γιατί το πηλίκο της διαίρεσης διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στριφνή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 06, 2017 12:07 pm

Ratio έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 11:09 am
Κάτι που θεωρώ σημαντικό για το πεδίο ορισμού: θα πρέπει να αιτιολογηθεί πλήρως γιατί x\leq 1
Δηλαδή πρέπει να υπάρχει σχήμα Horner της διαίρεσης \frac{x^{7}-1}{x-1}
με αιτιολόγηση γιατί το πηλίκο της διαίρεσης διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται αιτιολόγηση αφού x\ge 0.

Από το σχολικό της Α' Λυκείου: Αν a,b\ge 0 τότε \displaystyle a \ge b \Leftrightarrow {a^n} \ge {b^n}


Ratio
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Στριφνή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τρί Νοέμ 07, 2017 9:47 am

Να σας πω εγώ θα το ζητούσα, ακριβώς για να διαπιστωθεί ότι ο μαθητής δεν δουλεύει τυποποιημένα. Και φυσικα θα με κάλυπτε είτε μια απάντηση όπως η μελέτη σταθερότητας προσήμου με γνώσεις Α' Λυκείου είτε με μια απλή χρήση των θεωρημάτων της Γ' Λυκείου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης