Στριφνή

one_off · #1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{1-\sqrt{x^7}}}$ .

1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.

2) Nα σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

3) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{0}^{1}f^3(x)dx}$

στριφνή σαν τα φετινά μαργαριτάρια....

Tolaso J Kos · #2

one_off έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{1-\sqrt{x^7}}}$ .

1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.

2) Nα σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

3) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{0}^{1}f^3(x)dx}$

στριφνή σαν τα φετινά μαργαριτάρια....

(α) Για να ορίζεται η

πρέπει $x \geq 0$ και
$\displaystyle{\begin{aligned} 1-\sqrt{x^7} \geq 0 &\Leftrightarrow \sqrt{x^7} \leq 1 \\ &\Leftrightarrow x^7 \leq 1 \\ &\Leftrightarrow x \leq 1 \end{aligned}}$ Άρα το πεδίο ορισμού της

είναι το διάστημα [0, 1]

. Η

είναι γνήσια φθίνουσα στο [0, 1]

διότι για $0 \leq x_1<x_2 \leq 1$ έχουμε
$\displaystyle{x_1^7 < x_2^7 \Rightarrow \sqrt{x_1^7} < \sqrt{x_2^7} \Rightarrow - \sqrt{x_1^7} > - \sqrt{x_2^7} \Rightarrow 1- \sqrt{x_1^7} > 1 - \sqrt{x_2^7} }$ Παίροντας κυβική ρίζα και στα δύο μέλη έχουμε ότι f(x_1)>f(x_2)

. Άρα ως γνήσια φθίνουσα παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο

με τιμή

και ολικό ελάχιστο στο

με τιμή

. To σύνολο τιμών , αφού η

είναι γνήσια φθίνουσα και συνεχής είναι το [f(1), f(0)] = [0, 1]

.

(β) Είμαι μακριά από τα λογισμικά αυτή τη στιγμή αλλά η μελέτη της δεύτερης παραγώγου μου φαίνεται λίγο δύσκολη.

(γ) Για το ολοκλήρωμα έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^3(x) \, {\rm d}x &= \int_{0}^{1} \left ( 1- \sqrt{x^7} \right ) \ \, {\rm d}x \\ &= 1- \int_{0}^{1} \sqrt{x^7} \, {\rm d}x\\ &= 1- \left [ \frac{2x \sqrt{x^7}}{9} \right ]_0^1\\ &= 1-\frac{2}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{aligned}}$ Όντως στριφνή άσκηση και δε βλέπω το λόγο να ζητηθεί κάτι τέτοιο.

Tolaso J Kos · #3

one_off έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2017 12:11 am

2) Nα σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

Επαναφορά.

#4

Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις, είναι $\displaystyle f''(x) = - \frac{{7x\sqrt x (15 - \sqrt {{x^7}} )}}{{36{{\left( {\sqrt[3]{{1 - {x^7}}}} \right)}^5}}} < 0,x \in (0,1)$

H

είναι λοιπόν κοίλη στο [0,1]

και γνησίως φθίνουσα με σύνολο τιμών [0,1]

(από την δημοσίευση του Τόλη). Είναι

ακόμα ορισμένη και συνεχής στο κλειστό [0,1]

, άρα δεν υπάρχουν ασύμπτωτες. Η γραφική παράσταση φαίνεται παρακάτω.

: Στριφνή.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 2001 φορές

Ενδιαφέρον θα είχε ως προς τη γραφική παράσταση η $\displaystyle g(x) = \sqrt[3]{{\left| {1 - \sqrt {{|x|^7}} } \right|}}$

Tolaso J Kos · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 05, 2017 1:19 pm

Ενδιαφέρον θα είχε ως προς τη γραφική παράσταση η $\displaystyle g(x) = \sqrt[3]{{\left| {1 - \sqrt {{|x|^7}} } \right|}}$

Γιώργο, κάτι άλλο ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ratio · #6

Κάτι που θεωρώ σημαντικό για το πεδίο ορισμού: θα πρέπει να αιτιολογηθεί πλήρως γιατί $x\leq 1$
Δηλαδή πρέπει να υπάρχει σχήμα Horner της διαίρεσης $\frac{x^{7}-1}{x-1}$
με αιτιολόγηση γιατί το πηλίκο της διαίρεσης διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο

#7

Ratio έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 11:09 am
Κάτι που θεωρώ σημαντικό για το πεδίο ορισμού: θα πρέπει να αιτιολογηθεί πλήρως γιατί $x\leq 1$
Δηλαδή πρέπει να υπάρχει σχήμα Horner της διαίρεσης $\frac{x^{7}-1}{x-1}$
με αιτιολόγηση γιατί το πηλίκο της διαίρεσης διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται αιτιολόγηση αφού $x\ge 0$ .

Από το σχολικό της Α' Λυκείου: Αν $a,b\ge 0$ τότε $\displaystyle a \ge b \Leftrightarrow {a^n} \ge {b^n}$

Ratio · #8

Να σας πω εγώ θα το ζητούσα, ακριβώς για να διαπιστωθεί ότι ο μαθητής δεν δουλεύει τυποποιημένα. Και φυσικα θα με κάλυπτε είτε μια απάντηση όπως η μελέτη σταθερότητας προσήμου με γνώσεις Α' Λυκείου είτε με μια απλή χρήση των θεωρημάτων της Γ' Λυκείου.

Στριφνή

Στριφνή

Re: Στριφνή

Re: Στριφνή

Re: Στριφνή

Re: Στριφνή

Re: Στριφνή

Re: Στριφνή

Re: Στριφνή

Μέλη σε σύνδεση