Με απλά υλικά (5)
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Με απλά υλικά (5)
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση για τη οποία ισχύει , για κάθε .
Δίνεται ότι η ευθεία με εξίσωση εφάπτεται της σε κάποιο σημείο της , έστω .
Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της και το .
Β. Αν η συνάρτηση έχει τύπο , , τότε :
α. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τα σημεία εφάπτεται της στο .
β. Ένα σημείο με κινείται πάνω στη και η τετμημένη του απομακρύνεται από τον με ταχύτητα .
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον η εφαπτομένη ευθεία της στο , τη στιγμή που το περνά από το .
γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα τη και την ευθεία με εξίσωση
Δίνεται ότι η ευθεία με εξίσωση εφάπτεται της σε κάποιο σημείο της , έστω .
Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της και το .
Β. Αν η συνάρτηση έχει τύπο , , τότε :
α. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τα σημεία εφάπτεται της στο .
β. Ένα σημείο με κινείται πάνω στη και η τετμημένη του απομακρύνεται από τον με ταχύτητα .
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον η εφαπτομένη ευθεία της στο , τη στιγμή που το περνά από το .
γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα τη και την ευθεία με εξίσωση
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Με απλά υλικά (5)
...Καλησπέρα και γειά σου Γιώργη και καλή χρονιά...ένα απλό μαγειρευμα...exdx έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 21, 2018 1:04 pmΔίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση για τη οποία ισχύει , για κάθε .
Δίνεται ότι η ευθεία με εξίσωση εφάπτεται της σε κάποιο σημείο της , έστω .
Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της και το .
Β. Αν η συνάρτηση έχει τύπο , , τότε :
α. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τα σημεία εφάπτεται της στο .
β. Ένα σημείο με κινείται πάνω στη και η τετμημένη του απομακρύνεται από τον με ταχύτητα .
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον η εφαπτομένη ευθεία της στο , τη στιγμή που το περνά από το .
γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα τη και την ευθεία με εξίσωση
ΛΥΣΗ
Α. Είναι για κάθε και ισοδύναμα
ή
(1)
Αφού η εφάπτεται της σε κάποιο σημείο της , έστω θα ισχύει ότι
και και τότε στην αρχική ισότητα θα ισχύει ότι
έτσι είναι άρα και από (1) και έτσι από (1) (2)
Ακόμη από με όπου το προκύπτει ότι και λόγω παραγωγισιμότητας της στο θα είναι
και από (2) ή
ή επομένως από (2)
και επειδή
είναι
Β. α) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία έχει κλίση
για
αφού και η κλίση της στο σημείο είναι
επομένως άρα η ευθεία είναι εφαπτομένη της της στο .
β) Είναι από υπόθεση και αν η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της κάθε στιγμή ισχύει ότι
και επειδή μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου ισχύει ότι
οπότε παραγωγίζοντας έχουμε ότι
και αφού είναι
και την στιγμή που είναι
και
γ) Τα κοινά σημεία της και της εφαπτομένης της προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης
που με σχήμα Horner γίνεται
επομένως έχουν κοινά σημεία το σημείο επαφής και το
και έτσι το ζητούμενο εμβαδό είναι
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης