Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης

#1

Δίδεται η συνάρτηση

με $f\left( x \right) = {e^x} + x + k,\,\,k \in \mathbb{R}$

α) Δείξετε ότι η

αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της ${f^{ - 1}}$ .

β) Ας δεχτούμε ότι η συνάρτηση ${f^{ - 1}}$ είναι παραγωγίσιμη .

Βρείτε την τιμή του

για την οποία η εφαπτομένη της ${C_{{f^{ - 1}}}}$ στο σημείο της , ${x_0} = k + 1$ διέρχεται από το σημείο : $A\left( {2, - 1} \right)$

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 25, 2022 12:34 pm
Δίδεται η συνάρτηση με $f\left( x \right) = {e^x} + x + k,\,\,k \in \mathbb{R}$

α) Δείξετε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της ${f^{ - 1}}$ .

β) Ας δεχτούμε ότι η συνάρτηση ${f^{ - 1}}$ είναι παραγωγίσιμη .

Βρείτε την τιμή του για την οποία η εφαπτομένη της ${C_{{f^{ - 1}}}}$ στο σημείο της , ${x_0} = k + 1$ διέρχεται από το σημείο : $A\left( {2, - 1} \right)$

Καλησπέρα σας. Μια παραλλαγή της υπάρχει στο Α' Τεύχος του Μπάρλα, στο κεφάλαιο με την εφαπτομένη. Επειδή την έλυσα πρόσφατα την αφήνω για όσους θέλουν να την προσπαθήσουν. Παραθέτω σε hide την τιμή του

που βρήκα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #3

Γεια σου Νίκο,

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 25, 2022 12:34 pm
Δίδεται η συνάρτηση με $f\left( x \right) = {e^x} + x + k,\,\,k \in \mathbb{R}$

α) Δείξετε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της ${f^{ - 1}}$ .

β) Ας δεχτούμε ότι η συνάρτηση ${f^{ - 1}}$ είναι παραγωγίσιμη .

Βρείτε την τιμή του για την οποία η εφαπτομένη της ${C_{{f^{ - 1}}}}$ στο σημείο της , ${x_0} = k + 1$ διέρχεται από το σημείο : $A\left( {2, - 1} \right)$

(α) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο f'(x) = e^x + 1 >0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα κατά συνέπεια 1-1

άρα αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ είναι το

$\displaystyle{\mathcal{A}_{f^{-1}} = f \left ( \mathbb{R} \right ) = \left ( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) , \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \right ) = \left ( -\infty , + \infty \right ) = \mathbb{R}}$
καθώς η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.

(β) Εφόσον δίδεται ότι η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη τότε από τη σχέση $f^{-1} \left ( f(x) \right ) = x$ η οποία ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ παραγωγίζοντας παίρνουμε

$\displaystyle{\left (f^{-1} \left ( f(x) \right ) \right ) ' = (x) ' \Rightarrow \left (f^{-1} \right)' \left ( f(x) \right ) f'(x) = 1 }$
Για x = 0

είναι $\left ( f^{-1} \right)' \left ( f(0) \right ) f'(0) = 1 \Leftrightarrow \left ( f^{-1} \right )' \left ( \kappa + 1 \right ) = \frac{1}{2}$ . Η εξίσωση της εφαπτόμενης $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ στο σημείο $x_0 = \kappa+1$ είναι η

$\displaystyle{y - f^{-1} \left ( \kappa + 1 \right ) = \left (f^{-1} \right ) '(\kappa+1) \left ( x - \kappa -1 \right )}$
ή ισοδύναμα $2y = x - \kappa -1$ . Επειδή διέρχεται από το σημείο (2, -1)

αυτό σημαίνει ότι το σημείο αυτό θα την επαληθεύει. Τότε, $-2 = 2 - \kappa -1 \Leftrightarrow \kappa =3$ .

Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης

Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης

Re: Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης

Re: Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση