Εξεζητημένο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Εξεζητημένο τρίγωνο.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο OAB

, έχει μεταβλητές τις κάθετες πλευρές αλλά η υποτείνουσά του είναι πάντα

.

Φέραμε την διάμεσο

και τη διχοτόμο

. Βρείτε μια συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το (ADM)

.

Προτιμήστε ο τύπος της συνάρτησης να μην έχει ριζικό στον παρονομαστή . Πότε έχουμε : (ADM)=3

;

Εξηγήστε γιατί αυτό το εμβαδόν θα λάβει κάποτε μέγιστη τιμή .

Προαιρετικό : Χρησιμοποιήστε το λογισμικό σας για να βρείτε αυτή τη μέγιστη τιμή .

orestisgotsis · #2

Περιττό

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 8:33 pm
Εξεζητημένο τρίγωνο.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει μεταβλητές τις κάθετες πλευρές αλλά η υποτείνουσά του είναι πάντα .

Φέραμε την διάμεσο και τη διχοτόμο . Βρείτε μια συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το .

Προτιμήστε ο τύπος της συνάρτησης να μην έχει ριζικό στον παρονομαστή . Πότε έχουμε : ;

Εξηγήστε γιατί αυτό το εμβαδόν θα λάβει κάποτε μέγιστη τιμή .

Προαιρετικό : Χρησιμοποιήστε το λογισμικό σας για να βρείτε αυτή τη μέγιστη τιμή .

Αν

τότε $OB=\sqrt{100-x^2}.$ Είναι, $\displaystyle (ADB) = \frac{1}{2}DM \cdot x = \frac{x}{2}\left( {\frac{a}{2} - \frac{{ax}}{{10 + x}}} \right) = \frac{{xa(10 - x)}}{{4(10 + x)}}$

Οπότε, $\displaystyle (ADM) = f(x) = \frac{{x(10 - x)\sqrt {100 - {x^2}} }}{{4(10 + x)}},0 < x < 10$

Πονηρεύομαι από την τιμή της υποτείνουσας και επαληθεύω ότι αν x=6,

τότε

Υπάρχει άλλη μία τιμή του

που δίνει εμβαδόν

αλλά δεν μπορώ να τη βρω "δια χειρός".

Προσεγγιστικά είναι 1,7269).

$\displaystyle f'(x) = \frac{{{x^3} - 150x + 500}}{{2(10 + x)\sqrt {100 - {x^2}} }}.$ O αριθμητής έχει μία ακέραια ρίζα το

και με Horner γράφεται

$\displaystyle {x^3} - 150x + 500 = (x - 10)({x^2} + 10x - 50).$ Από εδώ αφού 0<x<10,

βρίσκω ότι η

συνάρτηση παρουσιάζει για $\boxed{x=5(\sqrt 3-1)}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(ADM)_{\max }} = \frac{{75}}{{2\sqrt {45 + 26\sqrt 3 } }}}$

#4

Kαλησπέρα σε όλους. Συνεχίζω τη λύση του Ορέστη, φτάνοντας στον υπολογισμό της ίδιας ρίζας με τον Γιώργο.

: 14-01-2023 Γεωμετρία.jpg (20.84 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

$\displaystyle \left( {ADM} \right) = \left( {AOM} \right) - \left( {AOD} \right) = \frac{{ab}}{4} - \frac{{bc}}{2}$ , με $\displaystyle 0 < c < b < 10$ (*)

Από Θεώρημα Διχοτόμων, $\displaystyle \frac{c}{a} = \frac{b}{{10}} \Leftrightarrow c = \frac{{ab}}{{10 + b}}$

Είναι $\displaystyle {b^2} + {a^2} = 100 \Leftrightarrow a = \sqrt {100 - {b^2}}$

Οπότε $\displaystyle \left( {ADM} \right) = \frac{{b\sqrt {100 - {b^2}} }}{4} - \frac{{{b^2}\sqrt {100 - {b^2}} }}{{2\left( {10 + b} \right)}} = \frac{{b\sqrt {100 - {b^2}} \left( {10 - b} \right)}}{{4\left( {10 + b} \right)}} = \frac{1}{4}\sqrt {\frac{{{{\left( {10 - b} \right)}^3}{b^2}}}{{\left( {10 + b} \right)}}}$

Το εμβαδόν του ADM

γίνεται μέγιστο όταν η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {10 - x} \right)}^3}{x^2}}}{{10 + c}},\;x \in \left( {0,10} \right)$ έχει μέγιστο.

H παράγωγός της μηδενίζεται όταν $\displaystyle - 4{x^5} + 40{x^4} + 600{x^3} - 8000{x^2} + 20000x = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow - 4x{\left( {x - 10} \right)^2}\left( {{x^2} + 15x - 50} \right) = 0$

που δίνει δεκτή ρίζα $\displaystyle x = 5\left( {\sqrt 3 - 1} \right)$ . Οι άλλες είναι $\displaystyle - 5\left( {\sqrt 3 + 1} \right),\;0,\;10$ διπλή ρίζα.

Με τον πίνακα προσήμων, βλέπουμε ότι έχει μέγιστο. Κ.ο.κ. όπως ο Γιώργος παραπάνω.

Εξεζητημένο τρίγωνο

Εξεζητημένο τρίγωνο

Re: Εξεζητημένο τρίγωνο

Re: Εξεζητημένο τρίγωνο

Re: Εξεζητημένο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση