Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

#1

: Συνάρτηση μήκους.png (9.02 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με AB=2AC=2a.

Τυχόν σημείο

κινείται στην πλευρά

και θέτω

Φέρνω από το

ευθεία παράλληλη στην

και θεωρώ σημείο της

ώστε $C\widehat MT=45^\circ.$

α) Θεωρώντας το

ως παράμετρο, να ορίσετε συνάρτηση

που να δίνει το μήκος του

ως προς

β) Να εξετάσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

γ) Να υπολογίσετε συναρτήσει του

το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C_f,

τον άξονα

και τις

ευθείες που είναι κάθετες στον x'x

στα άκρα της γραφικής της παράστασης.

abgd · #2

: mikos.png (35.99 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

α) Αν $\displaystyle{CT=f(x), \ \ x \in [0,2a]}$ , τότε από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{CTM}$ και $\displaystyle{MCD}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x+a} \Rightarrow \boxed{f(x)=\frac{x^2+a^2}{x+a}}}$

β) $\displaystyle{f'(x)=\frac{x^2+2ax-a^2}{(a+x)^2}}$ και $\displaystyle{f''(x)=\frac{4a^2}{(a+x)^3}}$

$\displaystyle{x^2+2ax-a^2=0 \Leftrightarrow x=-a(\sqrt{2}+1), \ \ x=a(\sqrt{2}-1)}$ , οπότε η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[0,a(\sqrt{2}-1)\right]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[a(\sqrt{2}-1),2a\right]}$ ,

έχει ολικό ελάχιστο το $\displaystyle{f\left(a(\sqrt{2}-1\right)=2a(\sqrt{2}-1)}$ και τοπικά μέγιστα

$\displaystyle{f(a)=a}$ , $\displaystyle{f(2a)=\frac{5}{3}a}$

Τέλος, εφόσον $\displaystyle{f''(x)>0, \ \ \forall x\in (0,2a)}$ η συνάρτηση θα είναι κυρτή.

γ) Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι
$\displaystyle{E=\int_0^{2a}{f(x)}dx=\int_0^{2a}{\frac{x^2+a^2}{x+a}}dx=\int_0^{2a}{\left(x-a+\frac{2a^2}{x+a}}\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}-ax+2a^2\ln(a+x)\right]_0^{2a}}$

$\displaystyle{E=2a^2\ln3 }$ τ.μ.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 25, 2023 6:06 pm
Συνάρτηση μήκους.png
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με Τυχόν σημείο κινείται στην πλευρά

και θέτω Φέρνω από το ευθεία παράλληλη στην και θεωρώ σημείο της ώστε $C\widehat MT=45^\circ.$

α) Θεωρώντας το ως παράμετρο, να ορίσετε συνάρτηση που να δίνει το μήκος του ως προς

β) Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

γ) Να υπολογίσετε συναρτήσει του το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τον άξονα και τις

ευθείες που είναι κάθετες στον στα άκρα της γραφικής της παράστασης.

Μια άποψη για την εύρεση της συνάρτησης .( Του Κώστα είναι οπωσδήποτε πιο ωραία )

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

. Έστω

η προβολή του

στην

.

Θέτω: $CT = ML = y\,\,,\,\,MC = z$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα , $AMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KLM$ είναι όμοια γιατί στο κοινό τους σημείο

οι γωνίες τους είναι συμπληρωματικές .

Υπάρχει λοιπόν t > 0

έτσι ώστε : $ML = zt\,\,,\,\,LK = xt\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KM = KT = at$ .

: Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν_ok.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Επειδή

θα είναι : z = KT + KL = at + xt = t(a + x)

, οπότε από

$z = \left( {a + x} \right)t \Rightarrow yz = y\left( {a + x} \right)t \Rightarrow \left( {zt} \right)z = y\left( {a + x} \right)t$ . Δηλαδή :

${z^2} = y\left( {a + x} \right) \Rightarrow \boxed{f(x) = y = \frac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}\,\,,x \in [0,2a]}$ .

Τα υπόλοιπα τα είπε ό Κώστας .

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 25, 2023 6:06 pm
Συνάρτηση μήκους.png
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με Τυχόν σημείο κινείται στην πλευρά

και θέτω Φέρνω από το ευθεία παράλληλη στην και θεωρώ σημείο της ώστε $C\widehat MT=45^\circ.$

α) Θεωρώντας το ως παράμετρο, να ορίσετε συνάρτηση που να δίνει το μήκος του ως προς

β) Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

γ) Να υπολογίσετε συναρτήσει του το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τον άξονα και τις

ευθείες που είναι κάθετες στον στα άκρα της γραφικής της παράστασης.

Εστω

Τότε

$CT//MP,\dfrac{CT}{a-x}=\dfrac{TI}{IM}=\dfrac{CI}{IP},(1), CI+IP=a\sqrt{2},(2),$

Tα τρίγωνα CMP,CMI

είναι όμοια άρα

$\dfrac{CP}{CM}=\dfrac{CM}{CI}\Leftrightarrow MC^{2}=IC.IP,(3),$

δηλαδή ο κύκλος (M,I,P)

πράσινος κύκλος ,εφάπτεται στην

στο σημείο

$(2),(3)\Rightarrow IC=\dfrac{a^{2}+x^{2}}{a\sqrt{2}},IP=\dfrac{a^{2}-x^{2}}{a\sqrt{2}}$

και από την $(1)\Rightarrow CT=\dfrac{a^{2}+x^{2}}{a+x}=f(x)$

τα υπόλοιπα έχουν αποδειχθεί

Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

Re: Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

Re: Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

Re: Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση