Μέγιστη τιμή συνάρτησης

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 15, 2023 10:54 pm
Βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της συνάρτησης: $f\left( x \right)=4\sqrt{x-3}-4x+13$ .

$4\sqrt{x-3}-4x+13 =4\sqrt{x-3}-4(x-3)+1= 4y-4y^2+1= 2-(2y-1)^2\le 2$ ,

με ισότητα όταν $y=\dfrac {1}{2}$ , δηλαδή $\sqrt {x-3}= \dfrac {1}{2}$ , ή αλλιώς $x= \dfrac {13}{4}$ .

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 15, 2023 10:54 pm
Βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της συνάρτησης: $f\left( x \right)=4\sqrt{x-3}-4x+13$ .

(Με όποιον τρόπο θέλετε)

Ορέστη καλημέρα...

Μια άλλη ιδέα...

Θεωρούμε τη δοθείσα ως:

$\displaystyle{y=4\sqrt{x-3}-4x+13 \ \ (1) }$

Μετά την ύψωση στο τετράγωνο και την τακτοποίησή της θα προκύψει:

$\displaystyle{16x^2+y^2+8xy-120x-26y+217=0 \ \ (2)}$

Τη σχέση αυτή την τακτοποιούμε ως τριώνυμο ως προς $\displaystyle{x}$ και γίνεται:

$\displaystyle{16x^2+(8y-120)x+(y^2-26y+217)=0 \ \ (3) }$

Επειδή οι αριμοί μας είναι πραγματικοί θα πρέπει η διακρίνουσά της να είναι

$\displaystyle{D\geq 0 \ \ (4) }$

όμως

$\displaystyle{ D=-256y+512 }$

άρα:

$\displaystyle{-256y+512 \geq 0 \Rightarrow y \leq 2 \ \ (5) }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{y_{max}=2 \ \ (6) }$

Αν τώρα την τιμή αυτή τη θέσουμε στην (1) τότε βρίσκουμε και την τιμή του $\displaystyle{x=\frac{13}{4} }$

για την οποία λαμβάνει η συνάρτηση αυτή το μέγιστο αυτό.

Παραθέτω και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής:

: Max 1.png (7.96 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 15, 2023 10:54 pm
Βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της συνάρτησης: $f\left( x \right)=4\sqrt{x-3}-4x+13$ .

(Με όποιον τρόπο θέλετε)

Θέτω $\displaystyle \sqrt {x - 3} = t \Leftrightarrow x = {t^2} + 3$ και η παράσταση γράφεται $\displaystyle y = - 4{t^2} + 4t + 1,$

που ως τριώνυμο παρουσιάζει για $t=\dfrac{1}{2}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{{y_{\max }} = 2}$

Τώρα είδα ότι είναι σχεδόν ίδια με του Μιχάλη.

#5

Καλημέρα σε όλους. Ενώ πληκτρολογούσα μια ακόμα λύση δίχως παραγώγους, είδα ότι έχω παρόμοια λύση με τον Κώστα και τον Γιώργο, που έχει παρόμοια με τον Μιχάλη....

Πρέπει $x \ge 3$

Έστω $\displaystyle y = 4\sqrt {x - 3} - 4\left( {x - 3} \right) + 1$ (1)

Θέτω $\displaystyle \sqrt {x - 3} = t \Rightarrow \left( {x - 3} \right) = {t^2}$ , οπότε η (1) γράφεται:

$\displaystyle y = - 4{t^2} + 4t + 1 \Leftrightarrow 4{t^2} - 4t + y - 1 = 0,\;\;\;t \ge 0$ (2)

Θέλουμε η (2) να έχει πραγματικές, μη αρνητικές ρίζες.

Πρέπει $\displaystyle D \ge 0 \Leftrightarrow 16 - 16\left( {y - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y \le 2$ , με το «ίσον» όταν

$\displaystyle t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 3\frac{1}{4}$

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

#7

Γιατί αποφεύγετε τις παραγώγους αφού είναι πολύ απλές?

#8

R BORIS έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 17, 2023 7:15 am
Γιατί αποφεύγετε τις παραγώγους αφού είναι πολύ απλές?

Καλημέρα Ροδόλφε.

Επειδή υποθέτουμε ότι ο Ορέστης δεν υπάρχει περίπτωση να ζητά τη λύση μιας τετριμμένης άσκησης με χρήση παραγώγων, αλλά με εναλλακτικές τεχνικές (από τα παλιά), με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς. Οι τεχνικές αυτές έχουν μια κάποια διδακτική αξία, γιατί ζητούν από το μαθητή να χρησιμοποιήσει και τη φαντασία του, εκτός από τη γνώση των συγκεκριμένων αλγοριθμικών βηματισμών:

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = 4\sqrt {x - 3} - 4x + 13$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \left( {3, + \infty } \right)$ με $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {x - 3} }} - 4$

Από πίνακα προσήμων παραγώγου έχουμε

$\displaystyle f' > 0\;\forall x \in \left( {3,\frac{{13}}{4}} \right),\;f' < 0\;\forall x \in \left( {\frac{{13}}{4}, + \infty } \right),\;\;f'\left( {\frac{{13}}{4}} \right) = 0$ ,

οπότε η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x = \frac{{13}}{4}$ με τιμή $\displaystyle f\left( {\frac{{13}}{4}} \right) = 2$ .

Σχετικά με τη διαμάχη Αλγεβριστών-Αναλυστών τον (προ)περασμένο αιώνα στην Ευρώπη και τις περασμένες δεκαετίες στη χώρα μας έχουμε γράψει αρκετές φορές.

Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση