Ανισότητα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 18, 2023 8:59 pm
Να αποδείξετε ότι, για κάθε $n\in \mathbb{N}$ , ισχύει: ${{\left( \displaystyle\frac{3n-1}{3n+1} \right)}^{n}}\ge \displaystyle\frac{1}{2}$ .

Ορέστη πολύ θα ήθελα να το δω και με το Διωνυμικό Θεώρημα, αλλά, μια και το έβαλες εδώ στην Γ' Λυκείου ... let's play safe (ας μην πάρουμε ρίσκα) ... και ας το δούμε με μελέτη της συνάρτησης $f(x)=\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)^x$ ... για την οποία αρκεί να δείξουμε ότι είναι αύξουσα ... καθώς $f(1)=\dfrac{1}{2}.$

Ισχύει η $[ln(f(x))]'=\dfrac{6x}{9x^2-1}+ln\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right).$ Θέτοντας $g(x)=\dfrac{6x}{9x^2-1}+ln\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)$ βλέπουμε ότι $g(1)=\dfrac{3}{4}-ln2>0,$ θα αρκούσε συνεπώς να δείξουμε ότι g'(x)>0

για

κάτι που όμως δεν ισχύει. Ισχύει όμως η $g'(x)=-\dfrac{12}{(9x^2-1)^2}<0$ KAI επίσης η $\lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=0,$ άρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι g(x)>0

για

[Δεν πάει πάντως και πολύ μακριά η

, καθώς ο λογάριθμος της τείνει στο $-\dfrac{2}{3}$ (DLH), οπότε η ίδια τείνει στο 0,513

περίπου.]

#3

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 1:53 am
[Δεν πάει πάντως και πολύ μακριά η , καθώς ο λογάριθμος της τείνει στο $-\dfrac{2}{3}$ (DLH), οπότε η ίδια τείνει στο περίπου.]

Νομίζω πως αυτή η παρατήρηση μάς δίνει και δεύτερη απόδειξη: αφού f(1)=0,5

και $limf=e^{-2/3}\approx0,513$ ... για να δείξουμε ότι η

δεν πέφτει κάτω από το 0,5

αρκεί να δείξουμε ότι δεν μηδενίζεται η παράγωγος της (βλ. παρακάτω) -- θα είχε ένα τουλάχιστον τοπικό ελάχιστο αν έπεφτε κάτω από το 0,5

αλλά ανέβαινε τελικά προς το 0,513.

Βλέπουμε με λογαριθμική παραγώγιση ότι ο μηδενισμός της παραγώγου της

είναι ισοδύναμος προς την $ln\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)=-\dfrac{6x}{9x^2-1}:$ αυτή η ισότητα είναι όμως αδύνατη για x>1,

καθώς η μεν $ln\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)$ είναι αύξουσα η δε $-\dfrac{6x}{9x^2-1}$ είναι φθίνουσα, και η πρώτη ήδη ξεπερνάει την δεύτερη στο x=1

$\left(-ln2>-\dfrac{3}{4}\right).$

Παραθέτω κάποιες λεπτομέρειες που χρειάστηκαν: $\left(ln\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)\right)'=\dfrac{6}{9x^2-1}>0$ , $\left(-\dfrac{6x}{9x^2-1}\right)'=-\dfrac{6(9x^2+1)}{(9x^2-1)^2}<0,$ $limlnf(x)=lim\dfrac{ln(3x-1)-ln(3x+1)}{1/x}=-lim\dfrac{6x^2}{9x^2-1}=-\dfrac{2}{3}.$

[31-12-23 00:05 πμ] Δυστυχώς υπάρχει λάθος πρόσημο στην δεύτερη παράγωγο παραπάνω ... που ακυρώνει ολόκληρη την απόδειξη.

#4

Γιώργο καλημερα
για την ασκηση ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ του διαφορικου
γινεται περίπου με διωνυμο
1) δειχνουμε οτι η ακολουθια τείνει στο $\displaystyle{e^{-2/3}}$
2) αρκει $\displaystyle{ln2>2/3}$
3) για $\displaystyle{0<x<1 }$ δείξε $\displaystyle{<1+x+x^2/2<1/(1-x)}$
4) ολοκληρωσε απο 0 ως χ
5) χ=1/2 και Ο.Κ

#5

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 10:53 am
Γιώργο καλημερα
για την ασκηση ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ του διαφορικου
γινεται περίπου με διωνυμο
1) δειχνουμε οτι η ακολουθια τείνει στο $\displaystyle{e^{-2/3}}$
2) αρκει $\displaystyle{ln2>2/3}$
3) για $\displaystyle{0<x<1 }$ δείξε $\displaystyle{<1+x+x^2/2<1/(1-x)}$
4) ολοκληρωσε απο 0 ως χ
5) χ=1/2 και Ο.Κ

Ροδόλφε δεν σε πιάνω, ακολουθώντας τα παραπάνω απλώς αποδεικνύω την $ln2>\dfrac{31}{48}.$

#6

Kαταληγεις
$\displaystyle{x+x^2/2+x^3/3<-ln(1-x)}$ αρα $\displaystyle{1/2+1/8+1/24<-ln(1<2)}$ η $\displaystyle{ 2/3<ln2}$

#7

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2023 7:44 am
Kαταληγεις
$\displaystyle{x+x^2/2+x^3/3<-ln(1-x)}$ αρα $\displaystyle{1/2+1/8+1/24<-ln(1<2)}$ η $\displaystyle{ 2/3<ln2}$

Έτσι ακριβώς, πως όμως βοηθάει αυτό στην απόδειξη της προταθείσης ανισότητας, $\left(\dfrac{3n-1}{3n+1}\right)^n\geq \dfrac{1}{2};$

#8

Ροδόλφε ... τα παραπάνω μου θύμισαν ότι καλό είναι να δούμε την $2(3n-1)^n\geq (3n+1)^n$ και διωνυμικά (εκτός φακέλου βέβαια):

Χωρίς ίσως να είναι και απαραίτητο, ας διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, n=2m

και

Στην πρώτη περίπτωση, n=2m,

η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$(6m)^{2m}+\binom{2m}{2}(6m)^{2m-2}+\binom{2m}{4}(6m)^{2m-4}+...\binom{2m}{2k}(6m)^{2m-2k}+...\binom{2m}{2m-2}(6m)^2+1\geq$

$3\binom{2m}{1}(6m)^{2m-1}+3\binom{2m}{3}(6m)^{2m-3}}+...3\binom{2m}{5}(6m)^{2m-5}+...3\binom{2m}{2k+1}(6m)^{2m-2k-1}+...3\binom{2m}{2m-1}(6m)$

Βλέπουμε ότι ισχύει, όρο προς όρο, για $0\leq k\leq m-1,$ η ανισότητα $\binom{2m}{2k}(6m)^{2m-2k}\geq 3\binom{2m}{2k+1}(6m)^{2m-2k-1}$ , ισοδύναμη προς την $(2m+1)k\geq 0:$ ισχύει λοιπόν η ζητούμενη διωνυμική ανισότητα για n=2m,

και μάλιστα ως αυστηρή λόγω, αν μη τι άλλο, του 'ορφανού' τελευταίου όρου (

).

Στην δεύτερη περίπτωση, n=2m+1,

η απόδειξη δεν αλλάζει σχεδόν καθόλου, απλώς θα έχουμε -- ύστερα από τις αναγκαίες μεταφορές όρων --

όρους στο αριστερό σκέλος και m+1

όρους στο δεξιό σκέλος (αντί m+1

όρων στο αριστερό σκέλος και

όρων στο δεξιό σκέλος της περίπτωσης n=2m

), και η τελευταία ανισότητα θα είναι η $(2m+1)\cdot (3(2m+1))\geq 3,$ ισχύουσα ως ισότητα για m=0

, τότε δηλαδή που πρώτη και τελευταία ανισότητα ταυτίζονται.

Βλέπουμε δηλαδή ότι και στις δύο περιπτώσεις (

άρτιος και

περιττός) όλα προκύπτουν από την βασική (και πανεύκολη) ανισότητα

$\binom{n}{2k}(3n)^{n-2k}\geq 3\binom{n}{2k+1}(3n)^{n-2k-1},$

την οποία απλά εφαρμόζουμε για $0\leq k\leq m-1$ όταν n=2m

και για $0\leq k\leq m$ όταν n=2m+1.

[Εκτός φακέλου βγήκαμε, έχουμε όμως ένα ωραίο παράδειγμα ανισότητας που μπορεί να αποδειχθεί με δύο ριζικά διαφορετικές μεθόδους! (Δεν ήμουν και πολύ αισιόδοξος για την διωνυμική μέθοδο από την στιγμή που το όριο ( $\approx 0,513$ ) είναι τόσο κοντά στο 0,5

, στην πραγματικότητα όμως εφαρμόζεται εύκολα ακριβώς επειδή η διαφορά των δύο ποσοτήτων είναι τεράστια (ενώ ο λόγος τους ανάμεσα στο 0,5

και στο

περίπου).)]

#9

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2023 12:39 pm

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2023 7:44 am
Kαταληγεις
$\displaystyle{x+x^2/2+x^3/3<-ln(1-x)}$ αρα $\displaystyle{1/2+1/8+1/24<-ln(1<2)}$ η $\displaystyle{ 2/3<ln2}$
Έτσι ακριβώς, πως όμως βοηθάει αυτό στην απόδειξη της προταθείσης ανισότητας, $\left(\dfrac{3n-1}{3n+1}\right)^n\geq \dfrac{1}{2};$

Τώρα που το ξαναβλέπω ... εντάξει είμαστε, είχε μπει και ένα 2 ως παρονομαστής και έτσι έβγαζα $\dfrac{31}{48}$ αντί $\dfrac{16}{24}$

#10

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 10:53 am
Γιώργο καλημερα
για την ασκηση ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ του διαφορικου
γινεται περίπου με διωνυμο
1) δειχνουμε οτι η ακολουθια τείνει στο $\displaystyle{e^{-2/3}}$
2) αρκει $\displaystyle{ln2>2/3}$
3) για $\displaystyle{0<x<1 }$ δείξε $\displaystyle{<1+x+x^2/2<1/(1-x)}$
4) ολοκληρωσε απο 0 ως χ
5) χ=1/2 και Ο.Κ

Διορθώνοντας την $\displaystyle{1+x+x^2/2<1/(1-x)}$ σε $\displaystyle{1+x+x^2<1/(1-x)}$ παρατηρώ ότι τα (3)-(5) χρησιμοποιούνται απλώς για μία 'αυτοδύναμη' απόδειξη του (2), το οποίο (2) μας δείχνει, μαζί με το (1), ότι η συνάρτηση $\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)^x$ τείνει προς μία τιμή μεγαλύτερη του $\dfrac{1}{2}:$ αυτό όμως δεν δίνει απόδειξη του ζητούμενου, καθώς η συνάρτηση μπορεί να ξεκινάει στο $\dfrac{1}{2},$ να πέφτει χαμηλότερα από αυτό για λίγο και αργότερα να ξανασηκώνεται για να πλησιάσει στο όριο $\displaystyle{e^{-2/3}}$ -- για πλήρη απόδειξη οφείλουμε να αποδείξουμε ότι είναι αύξουσα η $\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)^x$ (ή έστω ο λογάριθμος της), κάτι που έχει γίνει στην #2.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση