M.E.Θ

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα
Ας δούμε μια άσκηση που παρουσιάζει ένα κάποιο ενδιαφέρον.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}}$ για την οποία γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f'}$ είναι γνήσια αύξουσα στο ${\cal R}$ .
Αν υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in {\cal R}}$ τέτοιος ώστε $f'\left( {{x_0}} \right) > 0$ , να υπολογισθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x)}$ .

Θωμάς

#2

Απο Μ.Ε.Θ Χάλκης στέλνω:

Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [x0,x] και λαμβάνω ξ στο (χ0,χ) ώστε:

$\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(x) - f(x_0 )}}{{x - x_0 }} \Rightarrow f(x) = f'(\xi )(x - x_0 ) + f(x_0 ) }$

Όμως:

$\displaystyle{ \xi > x_0 \Rightarrow f'(\xi ) > f'(x_0 ) \Rightarrow ...f'(\xi )(x - x_0 ) + f(x_0 ) > f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 ) \Rightarrow f(x) > f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 ),\forall x > x_0 }$

Επιπλέον:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 ) = + \infty (f'(x_0 ) > 0) }$

Αρα και

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = + \infty }$

Υ.Γ Η άσκηση μπορεί άνετα να δουλευτεί και με τη χρήση της κυρτότητας αφού η f σιωπηλά κυρτή στο R.

#3

Μία προσέγγιση :
H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο M(x_0,f(x_0))

είναι της μορφής $y=ax+b, a=f^{\prime}(x_0)>0$ . Επειδή η συνάρτηση είναι κυρτή θα έχουμε $f(x)>ax+b, \forall x>x_0$ . Επειδή $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(ax+b)= +\infty$ , άρα $\displaystyle \lim_{x\to + \infty}f(x)= +\infty$
Φιλικά
Όταν έκανα προεπισκόπιση είδα την δημοσίευση του Χρήστου. Ελπίζω να μην έχουμε την ίδια λύση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #4

chris_gatos έγραψε:Απο Μ.Ε.Θ Χάλκης στέλνω:

Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [x0,x] και λαμβάνω ξ στο (χ0,χ) ώστε:

$\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(x) - f(x_0 )}}{{x - x_0 }} \Rightarrow f(x) = f'(\xi )(x - x_0 ) + f(x_0 ) }$

Όμως:

$\displaystyle{ \xi > x_0 \Rightarrow f'(\xi ) > f'(x_0 ) \Rightarrow ...f'(\xi )(x - x_0 ) + f(x_0 ) > f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 ) \Rightarrow f(x) > f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 ),\forall x > x_0 }$

Επιπλέον:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 ) = + \infty (f'(x_0 ) > 0) }$

Αρα και

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = + \infty }$

Υ.Γ Η άσκηση μπορεί άνετα να δουλευτεί και με τη χρήση της κυρτότητας αφού η f σιωπηλά κυρτή στο R.

Χρήστο καλημέρα.
Για να κάνω τη λύση ποιο λυκειακή να συμπληρώσω το εξής:

Αν για κάθε $\displaystyle{x \in {\cal R}}$ ίσχυε: $f({x_0}) + \left( {x - {x_0}} \right)f'({x_0}) \le 0 \Rightarrow f({x_0}) + xf'({x_0}) - {x_0}f'({x_0}) \le 0 \Rightarrow$
$f({x_0}) + xf'({x_0}) - {x_0}f'({x_0}) \le 0 \Rightarrow x \le \frac{{{x_0}f'({x_0}) - f({x_0})}}{{f'({x_0})}}$ , άτοπο, άρα μπορούμε να βρούμε κατάλληλο $\alpha \in {\cal R}$ έτσι ώστε $f({x_0}) + \left( {x - {x_0}} \right)f'({x_0}) > 0$ για κάθε $x \in \left( {\alpha , + \infty } \right)$ .

Επομένως $f(x) > f({x_0}) + \left( {x - {x_0}} \right)f'({x_0}) > 0$ , για κάθε $x \in \left( {\alpha , + \infty } \right)$ , οπότε και $0 < \frac{1}{{f(x)}} < \frac{1}{{f({x_0}) + \left( {x - {x_0}} \right)f'({x_0})}}$ για κάθε $x \in \left( {\alpha , + \infty } \right)$ .
Όμως $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f({x_0}) + \left( {x - {x_0}} \right)f'({x_0})}} = 0}$ , με συνέπεια από το κριτήριο της παρεμβολής να έχουμε $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f(x)}} = 0\mathop \Rightarrow \limits^{f(x) > 0} \mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ .

Θωμάς

Υ.Γ Κυρτή ήθελα να γράψω αλλά τη διατύπωσα έτσι για λόγους ευνόητους.

M.E.Θ

M.E.Θ

Re: M.E.Θ

Re: M.E.Θ

Re: M.E.Θ

Μέλη σε σύνδεση