Άσκηση 4

Γιώργος Κ77 · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\displaystyle\ +\infty )\displaystyle{\to}R$ , για την οποία ισχύει $xf'(x)=e^{x}$ , για κάθε x>0

.

Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\underset{x\to + \infty}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ .

#2

Για

είναι $\displaystyle{ e^x > 1 }$ .
Τότε $\displaystyle{ f'(x) = \frac{{e^x }}{x} > \frac{1}{x} \Rightarrow \int\limits_1^x {f'(t)dt} > \int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt} \Rightarrow f(x) - f(1) > \ln x \Rightarrow f(x) > \ln x + f(1) }$
(και φυσικά μπορούμε να μιλάμε για x>1

αφού το

τείνει στο άπειρο)
Όμως $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } (\ln x + f(1)) = + \infty }$ αρα και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = + \infty }$

Διόρθωση κώδικα Latex, για ομοιομορφία κειμένου
EDITΕίναι προφανές,αλλά πρέπει να ειπωθεί, πως η f'(x)

είναι συνεχής(άρα ολοκληρώσιμη) στο $(0,+\infty)$

Γιώργος Κ77 · #3

Πολύ ωραία λύση Χρήστο!

parmenides51 · #4

Διαφορετικά

$\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x}{x}}$ για $\displaystyle{x>0}$

H $\displaystyle{f' }$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ με παράγωγο $\displaystyle{f''(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}}$

κι επειδή $\displaystyle{f''(x)>0}$ για $\displaystyle{x>1}$ και $\displaystyle{f''(1)=0}$ έχουμε πως η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{[1,+\infty)}$

και συνεπώς η γραφική της παράσταση βρίσκεται για $\displaystyle{x\geq1}$ ψηλότερα από κάθε εφαπτομένη της με μόνη εξαίρεση το σημείο επαφής

άρα και από την εφαπτόμενη της στο $\displaystyle{(1,f(1))}$ που είναι η $\displaystyle{y-f(1)=f'(1)(x-1)\Leftrightarrow y=ex-e+f(1)}$

δηλαδή $\displaystyle{ f(x)\geq y \Rightarrow f(x) \geq ex-e+f(1)}$

κι επειδή $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } (ex-e+f(1)) = + \infty }$ τότε προκύπτει πως $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = + \infty }$

mathxl · #5

Ένας άλλος τρόπος
Εφαρμόζουμε θεώρημα μέσης τιμής στο $\displaystyle{\left[ {1,x} \right],x > 1}$ , οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi \in \left( {1,x} \right)}$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \frac{{{e^\xi }}}{\xi } > 1 + \frac{1}{\xi } > 1 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( x \right) > x - 1 + \frac{{x - 1}}{x} + f\left( 1 \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{f\left( x \right) > x - \frac{1}{x} + f\left( 1 \right)\mathop \to \limits^{x \to + \infty } + \infty }$

#6

Γιώργος Κ77 έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\displaystyle\ +\infty )\displaystyle{\to}R$ , για την οποία ισχύει $xf'(x)=e^{x}$ , για κάθε .

Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\underset{x\to + \infty}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ .

Αλλιώς: $\displaystyle{ f'(x) = \frac {e^x}{x}\ge 1 }$ . Από ΘΜΤ και για $x\ge 1$ έχουμε $f(x) = f(1)+ f'(\xi)(x-1) \ge f(1)+ (x-1) \to \infty$ .

M.

Άσκηση 4

Άσκηση 4

Re: Άσκηση 4

Re: Άσκηση 4

Re: Άσκηση 4

Re: Άσκηση 4

Re: Άσκηση 4

Μέλη σε σύνδεση