Άλλη μια ύπαρξη ξ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Γεια σας
Αφού ευχηθώ καλή επιτυχία στην επικείμενη κλήρωση των ελληνικών ομάδων, παραθέτω την επόμενη
Ασκηση
Έστω $\displaystyle{ f:[0, + \infty ) \to R }$ συνεχής συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ (0, + \infty ) }$ με f(0)=0 και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0 }$
.Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ>0 ώστε $\displaystyle{ f'(\xi ) = 0 }$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Κώστα επανέρχομαι , για δες το έτσι , έχει πρόβλημα ;
Η f είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$ . Αν ήταν και 1-1 τότε από γνωστή πρόταση η f θα ήταν γνησίως μονότονη , με $\displaystyle{ f(0) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) }$ άτοπο διότι το σύνολο τιμών θα ήταν το ( 0 , 0 ] . Άρα η f δεν είναι 1-1 δηλ. υπάρχουν $\displaystyle{ \kappa \ne \lambda }$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ f(\kappa ) = f(\lambda ) }$ οπότε με Rolle προκύπτει $\displaystyle{ f'(\xi ) = 0 }$

Πήγα να προσθέσω μία αιτιολόγηση για το άτοπο και κατά λάθος έσβησα το προηγούμενο post ...

k-ser · #3

Χρήστο, πολύ καλή η σκέψη σου με το 1-1 αλλά αυτό το άτοπο με την ισότητα των ορίων!... με δυσκολεύει!

Να δώσω μια διαφορετική προσέγγιση, η οποία οφείλεται στον Αναστάση Κοτρώνη και η οποία χρησιμοποιεί τον ορισμό του ορίου.

Αν υπάρχει a>0

τέτοιο ώστε: f(a)=0

τότε από το Rolle έχουμε το ζητούμενο.

Αν $f(x)\ne0, \forall x\in (0,+\infty)$ τότε θα είναι: $f(x)>0, \forall x\in (0,+\infty)$ ή $f(x)<0 ,\forall x\in (0,+\infty)$

Στην περίπτωση που $f(x)>0 ,\forall x\in (0,+\infty)$
επιλέγουμε x_0>0

οπότε

και έτσι, από τον ορισμό του ορίου, υπάρχει K>0

τέτοιο ώστε:
$f(x)<f(x_0), \forall x>K$

Ακόμα, λόγω της συνέχειας της

στο

,
θα υπάρχει x_1

ώστε $f(x)\leq f(x_1), \forall x\in [0,K]$ .

Έτσι, αν θέσουμε: $f(\xi)=max$ { f(x_0),f(x_1

}

έχουμε
$f(x)\leq f(\xi), \forall x\geq 0$

οπότε, από Fermat,
$f^{\prime}(\xi)=0$

Στην περίπτωση που $f(x)<0 ,\forall x\in (0,+\infty)$
μπορούμε να κάνουμε ακριβώς το ίδια διαδικασία για την

.

Σημείωση: Η άσκηση μπορεί να γενικευθεί, αν στη θέση του 0 βάλουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Το στέλνω πάλι ...

Η f είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$ . Αν ήταν και 1-1 τότε από γνωστή πρόταση η f θα ήταν γνησίως μονότονη , με $\displaystyle{ f(0) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) }$ άτοπο διότι το σύνολο τιμών θα ήταν το [ 0 , 0 ) αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή το ( 0 , 0 ] για γνησίως φθίνουσα ;. Άρα η f δεν είναι 1-1 δηλ. υπάρχουν $\displaystyle{ \kappa \ne \lambda }$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ f(\kappa ) = f(\lambda ) }$ οπότε με Rolle προκύπτει $\displaystyle{ f'(\xi ) = 0 }$

Πράγματι είναι λίγο ...

. Αν μπορούμε να το σώσουμε κάθε παρατήρηση ευπρόσδεκτη ...

k-ser · #5

Χρήστο,
δεν χρησιμοποιείς σωστά το θεώρημα με το σύνολο τιμών: τα όρια ή οι τιμές στα άκρα πρέπει να είναι διαφορετικές.

Για να "σώσουμε" την προσέγγιση που κάνεις, θα πρέπει να μας σώσει ο ορισμός του ορίου:

Αν η

είναι γνήσια αύξουσα θα είναι f(x)>0

για κάθε

.

Έστω ένα x_0>0

τότε και

και εφόσον το όριο της

στο $+\infty$ είναι

θα υπάρχει K>0

ώστε:
$\forall x>K, f(x)<f(x_0)$ και λόγω μονοτονίας της

καταλήγουμε
στο... απλό άτοπο:
$\forall x>K, x<x_0$ !

...καλό είναι και έτσι !

#6

Δίνω μία σχολική προσέγγιση εφαρμόζοντας μία τεχνική στην οποία έχω αναφερθεί και σε παλαιότερο μήνυμα:
Θεωρούμε την συνάρτηση $\varphi :\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ με
$\displaystyle{\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & , & {x = 0} \\ {f\left( {\frac{x}{{1 - x}}} \right)} & , & {0 < x < 1} \\ 0 & , & {x = 1} \\ \end{array}} \right.}$
Η $\varphi$ είναι συνεχής στα 0, 1

(από εφαρμογή του ορισμού και των υποθέσεων για την

) και παραγωγίσιμη στο $\left( 0,1\right)$ ως σύνθεση παραγωγισίμων. Είναι και $\varphi \left( 0\right) =\varphi \left( 1\right)$ οπότε από το θεώρημα του Rolle υπάρχει $t\in \left( 0,1\right)$ ώστε $\varphi ^{\prime }\left( t\right) =0$ . Αλλά $\varphi ^{\prime }\left( t\right) =f^{\prime }\left( \frac{t}{1-t}\right) \cdot \left( \frac{t}{1-t}\right) ^{\prime }=\frac{1}{\left( 1-t\right) ^{2}}f^{\prime }\left( \frac{t}{1-t}\right)$ επομένως είναι $f^{\prime }\left( \frac{t}{1-t}\right) =0$ άρα με $\xi =\frac{t}{1-t}\in \left( 0,+\infty \right)$ είναι $f^{\prime }\left( \xi \right) =0$ .
Μαυρογιάννης

#7

nsmavrogiannis έγραψε:Θεωρούμε την συνάρτηση $\varphi :\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ με

Για να μην περάσει απαρατήρητη αυτή η εξαίσια τεχνική του Νίκου, θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο:

Σε πολλές ασκήσεις μας ζητούν να αποδείξουμε "κάτι" όταν το σύνολο αναφοράς είναι απειροδιάστημα της μορφής $(0, +\infty), [0, +\infty), (-\infty, + \infty)$ και λοιπά, ενώ το αποδεικτέο έχει το ανάλογό του στη περίπτωση που το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο διάστημα της μορφής (α, β), [α , β] και λοιπά.

Ένα ενδιαφέρον τέχνασμα είναι να μεταφέρουμε το μεν στο δε. Συγκεκριμένα, να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε βολική συνάρτηση που στέλνει διάστημα της μορφής
(α, β) ή [α , β] ή κάτι ανάλογο σε μορφή $(0, +\infty), [0, +\infty), (-\infty, + \infty)$ ή ανάλογο.

Μια τέτοια είναι η χ/(1-χ) του Νίκου, που στέλνει το (0,1) στο $(0, +\infty)$ .
Μια άλλη συχνά χρήσιμη (που επίσης λύνει την παραπάνω άσκηση) είναι η εφχ που στέλνει το (0,π/2) στο $(0, +\infty)$ (ή το (-π/2,π/2) στο $(-\infty, +\infty)$

Για εξάσκηση δίνω την παρακάτω άσκηση. Πιθανότατα την έχουμε συζητήσει στο παλιό mathematica, πάντως (πρέπει να) είναι γνωστή σε όλους όσους ασχολούνται με Μαθηματικές Ολυμπιάδες γιατί επανεμφανίζεται κάθε τόσο στην μία ή στην άλλη μορφή:

Δίνονται 4 διαφορετικοί θετικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο από αυτούς, έστω οι x, y , με
$0 < \frac{x-y}{1+xy}< \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#8

Για την άσκηση του Μιχάλη περιληπτικά
x=tanθ...,διαμέριση του 1ου τεταρτημόριου σε 3 ίσους κυκλικούς τομείς,αρχή του περιστερεώνα

Και μια άσκηση από τις διακοπές μου στην Σάμο νομίζω σχετική

1.Στο εσωτερικό τετραγώνου με εμβαδόν 2 υπάρχουν μεταξύ τους 9 διαφορετικά σημεία A_k

Να δείξετε ότι ορίζονται 36 ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα σημεία αυτά έστω με μήκη $d_1,...,d_{36}, k=1,2,...,36$ τότε δείξτε όει δεν μπορεί όλοι οι αριθμοί d_k-1

να είναι ρίζες του πολυωνύμου P(x)=a_nx^n+...+a_0

αν

Μετά από ενα σοβαρό λάθος που έκανα αποσύρω την 2η ἀσκηση

#9

λύση της 1

Το πλήθος των τμημάτων είναι $\begin{pmatrix} 9\\2 \end{pmatrix}=\frac{9!}{7!2!}=36$ τμήματα με άκρα τα 9 σημεία
(ή σαν άλλο τρόπο 8+7+...+1=36)

Αν τώρα χωρίσουμε το τετράγωνο όπως παρακάτω

: Clipboard01.png (2 KiB) Προβλήθηκε 3037 φορές

σε 8 ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα τότε λόγω της αρχής του περιστερεώνα θα υπάρχουν δυο σημεία από τα 9 εντός ενός τριγώνου πχ τα A_1=Z,A_2=F

εντός του ΑΚΟ (Ο το κέντρο του ABCD) αποκλειόμενης της κορυφής Α λόγω εκφώνησης
Αν η ZF δεν τέμνει την υποτείνουσα ΑΟ

: Clipboard03.png (1.84 KiB) Προβλήθηκε 3037 φορές

τότε αν GH//OA , H σημείο της ΚA το τρίγωνο(αν σχηματίζεται) EGH είναι αμβλυγώνιο άρα $ZF<EG<GH \le AO=1$
παρομοια απόδειξη και οταν η ZF τέμνει την ΑΟ=1 (αφου (ABCD)=2)δηλαδή αν G σημείο της ΑΟ θα ηταν ZF<ZG<AG<AO=1
Συνεπώς ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς d_k-1<0

για κ=1,2,...,36
Από την άλλη μεριά το P(x) μπορεί να γραφεί σαν P(x)=Q(x)-xS(x)

όπου το Q θα περιέχει μόνον άρτιες δυνάμεις του x και συντελεστές με άρτιο δείκτη που είναι >0 λόγω της υπόθεσης (-1)^n.a_n>0

ενώ το S και αυτό άρτιες δυνάμεις του x και συντελεστές του τύπου $-a_{2m+1}>0$ λόγω της ίδιας υπόθεσης οπότε Q(x)>0,S(x)> 0

Τότε όμως αν r:P(r)=0 εύκολα προκύπτει ότι r=Q(r)/S(r)>0

Άρα δεν μπορεί όλοι οι αριθμοί d_k-1

να είναι ρίζες του Ρ γιατί αυτό και αν ήταν τουλάχιστον 36 βαθμού θα είχε μόνον θετικές ρίζες

k-ser · #10

nsmavrogiannis έγραψε:Δίνω μία σχολική προσέγγιση εφαρμόζοντας μία τεχνική στην οποία έχω αναφερθεί και σε παλαιότερο μήνυμα:
Θεωρούμε την συνάρτηση $\varphi :\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ με

Mihalis_Lambrou έγραψε:Μια τέτοια είναι η χ/(1-χ) του Νίκου, που στέλνει το (0,1) στο (0, +\infty).
Μια άλλη συχνά χρήσιμη (που επίσης λύνει την παραπάνω άσκηση) είναι η εφχ που στέλνει το (0,π/2) στο $(0, +\infty)$ (ή το (-π/2,π/2) στο $(-\infty, +\infty)$

Για εξάσκηση δίνω την παρακάτω άσκηση. Πιθανότατα την έχουμε συζητήσει στο παλιό mathematica, πάντως (πρέπει να) είναι γνωστή σε όλους όσους ασχολούνται με Μαθηματικές Ολυμπιάδες γιατί επανεμφανίζεται κάθε τόσο στην μία ή στην άλλη μορφή:

Δίνονται 4 διαφορετικοί θετικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο από αυτούς, έστω οι x, y , με
$0 < \frac{x-y}{1+xy}< \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

R BORIS έγραψε:Για την άσκηση του Μιχάλη περιληπτικά
x=tanθ...,διαμέριση του 1ου τεταρτημόριου σε 3 ίσους κυκλικούς τομείς,αρχή του περιστερεώνα

Νίκο, φοβερό το τέχνασμα! Το είχες γράψει, όντως και παλιότερα, - συγχώρησε με δεν το πρόσεξα... κακώς!
Θα μπορούσαμε βέβαια να ορίσουμε την $\varphi$ με την βοήθεια του $\ln{x}$ :
$\varphi(x)=f(-\ln{x}),x\in(0,1]$ και $\varphi(0)=0$ .

Με το πολύ καλό σχόλιο του Μιχάλη διαπιστώνει κανείς ότι μ' αυτή την τεχνική μπορούμε να λύσουμε προβλήματα που δεν έχουν να κάνουν μόνο με συναρτήσεις.
Τέλος,
λίγο πιο αναλυτικά η απάντηση του Ροδόλφου:
Οι 4 αριθμοί ανήκουν στο $(0, +\infty)$ . Με το παραπάνω τέχνασμα τους "στέλνουμε" στο (0,π/2), αφού για κάθε αριθμό x του $(0, +\infty)$ υπάρχει αριθμός θ του (0,π/2) ώστε: x=tanθ.
Έτσι οι 4 θετικοί αριθμοί, (x,y,z,w), αντιστοιχούνται σε 4 αριθμούς του (0,π/2) (θ, φ, α, ω) ώστε:x=tanθ, y=tanφ, z=tanα, w=tanω.
Χωρίζοντας το (0,π/2) στα (0,π/6], (π/6, π/3] και (π/3, π/2) δύο από τους θ, φ, α, ω θα ανήκουν στο ίδιο διάστημα και συνεπώς η διαφορά τους θα ανήκει στο (0,π/6). Έτσι, η εφαπτομένη της διαφοράς τους θα ανήκει στο $(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$ .
Αν π.χ. θ-φ είναι στο (0,π/6) τότε:
$\displaystyle 0<\tan{(\theta-\phi)}<\frac{\sqrt{3}}{3}$
ή
$0 < \frac{x-y}{1+xy}< \frac{\sqrt{3}}{3}$

Να είστε καλά.

Ιστοσελίδα · #11

nsmavrogiannis έγραψε:Δίνω μία σχολική προσέγγιση εφαρμόζοντας μία τεχνική στην οποία έχω αναφερθεί και σε παλαιότερο μήνυμα:
Θεωρούμε την συνάρτηση $\varphi :\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ με
$\displaystyle{\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & , & {x = 0} \\ {f\left( {\frac{x}{{1 - x}}} \right)} & , & {0 < x < 1} \\ 0 & , & {x = 1} \\ \end{array}} \right.}$
Η $\varphi$ είναι συνεχής στα (από εφαρμογή του ορισμού και των υποθέσεων για την ) και παραγωγίσιμη στο $\left( 0,1\right)$ ως σύνθεση παραγωγισίμων. Είναι και $\varphi \left( 0\right) =\varphi \left( 1\right)$ οπότε από το θεώρημα του Rolle υπάρχει $t\in \left( 0,1\right)$ ώστε $\varphi ^{\prime }\left( t\right) =0$ . Αλλά $\varphi ^{\prime }\left( t\right) =f^{\prime }\left( \frac{t}{1-t}\right) \cdot \left( \frac{t}{1-t}\right) ^{\prime }=\frac{1}{\left( 1-t\right) ^{2}}f^{\prime }\left( \frac{t}{1-t}\right)$ επομένως είναι $f^{\prime }\left( \frac{t}{1-t}\right) =0$ άρα με $\xi =\frac{t}{1-t}\in \left( 0,+\infty \right)$ είναι $f^{\prime }\left( \xi \right) =0$ .
Μαυρογιάννης

Τα λόγια περιττεύουν

Στράτο, Χρήστο, Κώστα, Νίκο, Μιχάλη, Ροδόλφε, συγχαρητήρια !!!

Είναι ό,τι χρειάζεται το mathematica.

Μίλτος Π.

#12

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Το στέλνω πάλι ...

Η f είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$ . Αν ήταν και 1-1 τότε από γνωστή πρόταση η f θα ήταν γνησίως μονότονη , με $\displaystyle{ f(0) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) }$ άτοπο διότι το σύνολο τιμών θα ήταν το [ 0 , 0 ) αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή το ( 0 , 0 ] για γνησίως φθίνουσα ;. Άρα η f δεν είναι 1-1 δηλ. υπάρχουν $\displaystyle{ \kappa \ne \lambda }$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ f(\kappa ) = f(\lambda ) }$ οπότε με Rolle προκύπτει $\displaystyle{ f'(\xi ) = 0 }$

Πράγματι είναι λίγο ... . Αν μπορούμε να το σώσουμε κάθε παρατήρηση ευπρόσδεκτη ...

Και αυτή η λύση, αν και όχι τόσο σχολική , είναι τελείως απλή και ολόσωστη. Μόλις διάβασα την εκφώνηση και πριν προχωρήσω στην ανάγνωση της αλληλογραφίας , έκανα ακριβώς την ίδια σκέψη. Το άτοπο βέβαια δεν το έκανα με το σύνολο τιμών(που είναι επίσης επαρκής αιτιολόγηση - με βάση αυτά που το ίδιο το σχολικό αναφέρει έμμεσα), αλλά ως εξής :

Με 0 < 1 < χ και αν πχ η f είναι γν. αύξουσα παίρνουμε :

f(0) < f(1) < f(x). Παίρνοντας όριο στο συν άπειρο προκύπτει :

0 < f(1) $\leq 0$

που είναι άτοπο.

Να προσθέσω ότι όλη η αλληλογραφία σε αυτό το topic(εδάφιο) είναι εξαιρετική και καταδεικνύει την πείρα και το υψηλό επίπεδο των συμμετεχόντων.

Μπάμπης

Άλλη μια ύπαρξη ξ

Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Re: Άλλη μια ύπαρξη ξ

Μέλη σε σύνδεση