Να βρεθεί η f

kostas_zervos · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ για την οποία ισχύει ότι x f''(x)+2 f'(x)+x f(x)=0

για κάθε $x\in \mathbb R$ και f(0)=1

.
α) Να βρεθεί η

(εννοείται με ύλη Γ Λυκείου).
β) Να αποδειχτεί ότι η

έχει άπειρα τοπικά ακρότατα.
γ) Να αποδειχτεί ότι η C_f

εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x}$ και $\displaystyle h(x)=-\frac{1}{x}$ σε άπειρα σημεία.

Edit από Γενικούς Συντονιστές

Broly · #2

kostas_zervos έγραψε:Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ για την οποία ισχύει ότι $x\cdot f''(x)+2\cdot f'(x)+x\cdot f(x)=0$ για κάθε $x\in R$ και .
α)Να βρεθεί η (εννοείται με ύλη Γ Λυκείου).
β)Να αποδειχτεί ότι η έχει άπειρα τοπικά ακρότατα.
γ)Να αποδειχτεί ότι η εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x}$ και $\displaystyle h(x)=-\frac{1}{x}$ σε άπειρα σημεία.

Μια σκέψη για το α)

Πολλαπλασιάζοντας με χ και στα 2 μέλη παίρνουμε : [x^2f(x)]'+x^2f(x)=0

.

Για ευκολία θέτουμε : g(x)=x^2f(x)

.

Άρα $g'(x)+g(x)=0 \rightarrow \frac{g'(x)}{g(x)} +1=0 \rightarrow (ln|g(x)|+x)'=0$ , οπότε : ln|g(x)|+x=c

.

Νομίζω η συνθήκη πρέπει να είναι f(1)=1

αντί για

και τότε προκύπτει η συνάρτηση $f(x)=\frac{e^{1-x}}{x^2}$ .

Τώρα αν η συνθήκη δώθηκε σωστά δεν έχω την παραμικρή ιδέα πως μπορεί να βρεθεί η

Εντόπισα σοβαρότατο ΛΑΘΟΣ στην παραπάνω αντιμετώπιση οπότε δοκιμάζω μια δεύτερη προσπάθεια :

Για x=0

η αρχική δίνει f'(0)=0

.

Διακρίνουμε τις παρακάτω 2 περιπτώσεις :

Για x=0

η αρχική δίνει f'(x)=0

,άρα συνεπάγεται f(x)=1

Για $x \neq 0$ , διαιρούμε την αρχική με τον όρο x*f'(x)

, οπότε και παίρνουμε :

$\frac{f"(x)}{f'(x)}+\frac{2}{x}+\frac{f(x)}{f'(x)} =0$ ή (|ln(f'(x))|+2ln|x|+ln|f(x)|)'=0

ή

Κουράστηκα..θα την ξαναδώ αύριο....καληνύχτες

kostas_zervos · #3

Broly έγραψε: Πολλαπλασιάζοντας με και στα 2 μέλη παίρνουμε : $\color{red}[x^2f(x)]'+x^2f(x)=0$ .

Είναι $[x^2f\color{red}'\color{black}(x)]'+x^2f(x)=0$ ...

#4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Broly · #5

chris_gatos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία καλή αρχή για την απαιτητική (σε δικαιολόγηση τουλάχιστον) είναι να θέσει κάποιος και να καταλήξει στην ισοδύναμη η οποία λύνεται και σχολικά με γνωστό τρόπο...

Καλή σκέψη , το θέμα είναι πως προχωράμε μετά από αυτό ...για παράδειγμα δοκίμασα να πολλαπλασιάσω και τα 2 μέλη με 2g'(x)

,και κατέληξα στην

$[(g'(x))^2+(g(x))^2]'=0 \Rightarrow (g'(x))^2+(g(x))^2=2$ ....μετά όμως ??? πως εξαλείφουμε από εδώ την g'(x)

...

#6

Broly έγραψε: Καλή σκέψη , το θέμα είναι πως προχωράμε μετά από αυτό ...για παράδειγμα δοκίμασα να πολλαπλασιάσω και τα 2 μέλη με ,και κατέληξα στην

$[(g'(x))^2+(g(x))^2]'=0 \Rightarrow (g'(x))^2+(g(x))^2=2$ ....μετά όμως ??? πως εξαλείφουμε από εδώ την ...

Καλημέρα! Δε χρειάζεται να πολλαπλασιάσεις νομίζω.

Y.Γ: Δες π.χ την αντιμετώπιση του σχολικού βιβλίου στην άσκηση 11 των γενικών ασκήσεων του κεφαλαίου του διαφορικού λογισμού.

Σ. Διονύσης · #7

kostas_zervos έγραψε:Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ για την οποία ισχύει ότι για κάθε $x\in \mathbb R$ και .
α) Να βρεθεί η (εννοείται με ύλη Γ Λυκείου).

Edit από Γενικούς Συντονιστές

Mία σκέψη με τη βοήθεια του chris_gatos :

$g(x)=xf(x) \; \; (1)$ και παραγωγίζοντας:

g'(x)=f(x)+xf'(x)

και παραγωγίζοντας και πάλι:

$g''(x)=2f'(x)+xf''(x) \; \; (2)$

Προσθέτοντας τις (1),(2) κατά μέλη προκύπτει:

$\displaystyle{g(x)+g''(x)=xf''(x)+2f'(x)+xf(x)=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow g(x)=\eta\mu x\Rightarrow f(x)=\displaystyle{\begin{cases}\frac{\eta\mu x}{x} \; , \; x\neq 0 \\ 1 \; , \; x=0\end{cases}}}$ η οποία επαληθεύει την αρχική.

Edit: Έγινε μια διόρθωση στη γραφή του τύπου

Να βρεθεί η f

Να βρεθεί η f

Re: Να βρεθεί η f(x)

Re: Να βρεθεί η f(x)

Re: Να βρεθεί η f

Re: Να βρεθεί η f

Re: Να βρεθεί η f

Re: Να βρεθεί η f

Μέλη σε σύνδεση