Οριο

nonlinear · #1

α) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{g\left( k \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\sigma \upsilon \nu \left( x \right) - \frac{k}{2} \cdot {x^2}} \right)^{\frac{2}{{{x^2}}}}}}$ με $\displaystyle{k > 0}$

β)Να δείξετε ότι : $\displaystyle{g\left( {{k_1}} \right) \cdot g\left( {{k_2}} \right) \leqslant \frac{1}{e} \cdot g\left( {{k_1} + {k_2}} \right)}$ με $\displaystyle{{k_1},{k_2} > 0}$

#2

Για το α) απάντηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το β) ισχύει με ισότητα.

kwstas12345 · #3

Αρχικα υπολογίζουμε το

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{x^{2}}\ln\left(\cos x-\frac{kx^{2}}{2} \right)=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\left(x^{2} \right)'}\left(\ln\left(\cos x-k\frac{x^{2}}{2} \right) \right)'=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2x}\cdot\frac{1}{\cos x-k\frac{x^{2}}{2}}\left(-\sin x-kx \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos x-k\frac{x^{2}}{2}}\left(-\frac{\sin x}{x}-k \right)=-1-k$

Άρα: $\displaystyle {\lim_{x\rightarrow 0}\left(\cos x-\frac{kx^{2}}{2} \right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0}\exp\left(\frac{2}{x^{2}}\ln\left(\cosx-kx^{2}/2 \right) \right)=e^{-1-k}}$

για το β)

$\displaystyle {g\left(k_{1} \right)g\left(k_{2} \right)=e^{1-k_{1}}e^{1-k_{2}}=e^{-2-k_{1}-k_{2}}=e^{-1}e^{\left(-1-\left(k_{1}+k_{2} \right) \right)}=e^{-1}g\left(k_{1}+k_{2} \right)}$

ΥΓ: Στο α ερώτημα εχει νοημα ο $\displaystyle {\ln\left(\cos x-\frac{kx^{2}}{2} \right)}$ αφού σε μια περιοχή του

είναι:

$\displaystyle {\lim_{x\rightarrow 0}\left(\cos x-\frac{kx^{2}}{2} \right)=1>0}$ άρα: $\displaystyle {\cos x-\frac{kx^{2}}{2}>0}$

κοντά στο

.

Οριο

Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Μέλη σε σύνδεση