Άσκηση 2η - Ζανταρίδης Ν.

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ τέτοια ώστε να ισχύουν τα εξής:

1. f: περιττή
2. $\displaystyle{\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right) - x + y} \right| < \left| {x - y} \right|}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$ και $\displaystyle{x \ne y}$
3. $\displaystyle{f\left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 2f\left( x \right) - 3x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

να δείξετε ότι: f(x) = x για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Σημείωση (δική μου): Νομίζω ότι γίνεται μια πολύ όμορφη άσκηση αν τις βάλουμε και υποερωτήματα, αλλά δεν παραποιώ ασκήσεις που δεν μου ανήκουν!!

#2

Μία λύση:

Θέτουμε $\displaystyle{g(x)=f(x)-x.}$

Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύουν:

1) $\displaystyle{g}$ περιττή (1)
2) $\displaystyle{|g(x)-g(y)|\leq |x-y|}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ (2)
3) $\displaystyle{g(g(x)-x)=g(x)}$ (3)

Θέτουμε στην (2) $\displaystyle{y\rightarrow -g(x)+x}$ , οπότε έχουμε

$\displaystyle{|g(x)-g(-g(x)+x)|\leq |g(x)|}$ , η οποία λόγω της (1) γράφεται

$\displaystyle{|g(x)+g(g(x)-x)|\leq |g(x)|}$ , οποία λόγω της (3) γράφεται

$\displaystyle{|g(x)+g(x)|\leq |g(x)|}$ , οπότε $\displaystyle{|g(x)|\leq 0 }$ , άρα $\displaystyle{g(x)=0 }$ για κάθε $\displaystyle{ x }$ και οισχυρισμός έπεται.

nikoszan · #3

Θανο πολυ ωραια λυση.Το μηλο κατω απο την μηλια πεφτει ...
Μπορει να δοθει και αλλη λυση , αν η δευτερη συνθηκη αντικατασταθει με ενα συμπερασμα της ....η h[x]= f[x]-2x ειναι γν. φθινουσα....
Φιλικα Ν.Ζ.

#4

καλημέρα

Φαίνεται οτι κάναμε ίδιες σκέψεις με τον Νίκο διότι:
Αν $\displaystyle{h(x)=f(x)-2x}$ τότε από την[3] $\displaystyle{h(h(x))=x$
Aπό την [1] $\displaystyle{h}$ περιττή
Από την [2] $\displaystyle{-1<\frac{h(x)-h(y)}{x-y}+1<1}$ άρα $\displaystyle{h}$ γν, φθίνουσα

τώρα αν για κάποιο χ $\displaystyle{h(x)<-x \Rightarrow h(h(x))>-h(x) \Rightarrow x>-h(x) \Rightarrow h(x)>-x}$ αντίφαση
Ομοια αντίφαση για την ανάποδη ανισότητα
τελικά προκύπτει το ζητούμενο

Άσκηση 2η - Ζανταρίδης Ν.

Άσκηση 2η - Ζανταρίδης Ν.

Re: Άσκηση 2η - Ζανταρίδης Ν.

Re: Άσκηση 2η - Ζανταρίδης Ν.

Re: Άσκηση 2η - Ζανταρίδης Ν.

Μέλη σε σύνδεση