Ύπαρξη

mathxl · #1

Έστω η ορισμένη στο R και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε
$\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| \le 1,\forall x \in R}$
$\displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + {{\left( {f'\left( 0 \right)} \right)}^2} = 4}}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός χο τέτοιος ώστε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) + f''\left( {{x_0}} \right) = 0}$

Ποντάρω ότι θα βρούμε μια σχολική λύση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #2

Καλησπέρα.

Θ.Μ.Τ για την f στο $\displaystyle{\left[ { - 2,0} \right]}$ , επομένως υπάρχει $\displaystyle{{x_1} \in \left( { - 2,0} \right)}$ ώστε:
$\displaystyle{f'\left( {{x_1}} \right) = \frac{{f(0) - f( - 2)}}{{0 - ( - 2)}} \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_1}} \right)} \right| = \frac{{\left| {f(0) - f( - 2)} \right|}}{2} \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_1}} \right)} \right| \leqslant \frac{{\left| {f(0)} \right| + \left| {f( - 2)} \right|}}{2}\mathop \leqslant \limits^{\left| {f(0)} \right|,\left| {f( - 2)} \right| \leqslant 1} \frac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_1}} \right)} \right| \leqslant 1}$ .

Όμοια ΘΜΤ για τη f στο $\displaystyle{\left[ {0,2} \right]}$ , επομένως υπάρχει $\displaystyle{{x_2} \in \left( {0,2} \right)}$ ώστε:
$\displaystyle{f'\left( {{x_2}} \right) = \frac{{f(2) - f(0)}}{{2 - 0}} \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {f(2) - f(0)} \right|}}{2} \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_2}} \right)} \right| \leqslant \frac{{\left| {f(2)} \right| + \left| {f(0)} \right|}}{2}\mathop \leqslant \limits^{\left| {f(0)} \right|,\left| {f(2)} \right| \leqslant 1} \frac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_2}} \right)} \right| \leqslant 1}$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {\left( {f'(x)} \right)^2}}$ , $\displaystyle{x \in R}$ η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {{x_1},{x_2}} \right]}$ , οπότε έχει μέγιστη τιμή, η οποία δεν παρουσιάζεται στα άκρα διότι:
αφενός $\displaystyle{g(0) = {f^2}(0) + {\left( {f'(0)} \right)^2} = 4}$
και αφετέρου: $\displaystyle{g\left( {{x_1}} \right) = {f^2}({x_1}) + {\left( {f'({x_1})} \right)^2} \leqslant 1 + 1 \Rightarrow g\left( {{x_1}} \right) \leqslant 2}$ και όμοια $\displaystyle{g\left( {{x_2}} \right) \leqslant 2}$ .
Επομένως το μέγιστο παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο $\displaystyle{\xi \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)}$ , συνεπώς από θεώρημα Fermat, έχουμε:
$\displaystyle{g'\left( \xi \right) = 0 \Rightarrow 2f(\xi )f'(\xi ) + 2f'(\xi )f''(\xi ) = 0 \Rightarrow }$
$\displaystyle{f'(\xi )\left( {f(\xi ) + f''(\xi )} \right) = 0}$ .
Αν $\displaystyle{f'(\xi ) = 0 \Rightarrow g\left( \xi \right) = {f^2}(\xi ) + {\left( {f'(\xi )} \right)^2} \Rightarrow g\left( \xi \right) = {f^2}(\xi ) \leqslant 1}$ , άτοπο διότι $\displaystyle{g\left( \xi \right) \geqslant 4}$ . '
Αρα $\displaystyle{f(\xi ) + f''(\xi ) = 0}$ .

Θωμάς

mathxl · #3

Ωραία λύση το θέμα είναι από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=382928 όπου δεν υπάρχει απόδειξη αλλά μια υπόδειξη

#4

8Δ3 σελιδα 142εδώ

#5

Καλημέρα!
Υπάρχει και στο ''Μαθηματικές Ολυμπιάδες Ανάλυσης'' του Γ.Μπαϊλάκη(αν δεν κάνω λάθος γιατί αυτήν τη στιγμή δεν το έχω μαζί μου) με λύση.

#6

mathxl έγραψε:Έστω η ορισμένη στο R και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε
$\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| \le 1,\forall x \in R}$
$\displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + {{\left( {f'\left( 0 \right)} \right)}^2} = 4}}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός χο τέτοιος ώστε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) + f''\left( {{x_0}} \right) = 0}$

Ποντάρω ότι θα βρούμε μια σχολική λύση

Πρόκειται για το πρόβλημα Α6 του Putnam 1976.

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol766.html

Δείτε και, π.χ., το βιβλίο του Μπαϊλάκη, "Παγκόσμια Θεματογραφία Ολυμπιάδων Μαθηματικής Ανάλυσης¨, σελ. 260. (με πρόλαβε ο Χρήστος....)

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathxl · #7

Η παραπάνω ίσως λύνεται και με κόντρα. Επειδή η δεύτερη παράγωγος συνεχής αν αρνηθούμε το συμπέρασμα (το ζητούμενο) θα διατηρεί πρόσημο οπότε σε κάποιο άτοπο θα οδηγηθούμε

Μία άσκηση που πρέπει να είναι η πρώτη ξαδέρφη της παραπάνω. Με την ίδια ακριβώς υπόθεση να δείξετε ότι πάλι υπάρχει τουλάχιστον ένα πραγματικός αριθμός χο ώστε $f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0}) =0$

Αχιλλέα είσαι κινητή βιβλιοθήκη....που τα θυμάσαι...

mathxl · #8

Τελικά έχει πρόβλημα http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=383436 σύμφωνα με το αντιπαράδειγμα που δίνει ο hpe

Ύπαρξη

Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση